Непостижимая эффективность математики

[fregimus]

Вигнер Е «Непостижимая эффективность математики в естественных науках (физика наших дней)» УФН 94 (3) (1968) / Е. Wigner, The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, Comm. Pure and Appl. Math. 131, 1 (1960). Лекция в честь Рихарда Куранта, прочитанная 11 мая 1959 г. в Нью-Йоркском университете. Перевод В. А. Белоконя и В. А. Угарова.

…две главные идеи, которым посвящена статья. Первая идея: математические представления могут оказаться в совершенно неожиданной связи. Более того, они часто приводят к неожиданно удачному и точному описанию явлений в этой связи. Вторая идея: именно благодаря упомянутой широте применения математических представлений и тому факту, что мы не понимаем причин такой широты, мы ниоткуда не может узнать, единственна ли теория, сформулированная на языке наших математических представлений. Мы похожи на человека со связкой ключей, который, пытаясь открывать одну дверь за другой, всегда находит правильный ключ с первой или второй попытки. Это заставляет его сомневаться относительно взаимно-однозначного соответствия между ключами и замками.

…Моя главная цель - осветить этот вопрос с нескольких сторон. С одной стороны, невероятная эффективность математики в естественных науках есть нечто граничащее с мистикой, ибо никакого рационального объяснения этому факту нет. С другой стороны, именно эта непостижимая эффективность математики в естественных науках выдвигает вопрос о единственности физических теорий. Для того чтобы обосновать утверждение о невероятно важной роли математики в физике, полезно для начала сказать кое-что по поводу того, что такое математика, затем выяснить, что такое физика. После этого следует рассмотреть роль математики в физической теории и, наконец, понять, почему успехи математики в физике оказываются столь потрясающими. Совсем кратко мы остановимся на вопросе о единственности теорий в физике…

Трудно отделаться от впечатления, что чудо («В своей аксиоматической форме математика представляется скоплением абстрактных форм, причем определенные аспекты реальности как будто бы в результате предопределения укладываются в некоторые из этих форм» Н. Бурбаки. — перев.), представшее перед нами, не менее поразительно, чем то, что разум человека смог связать воедино и без противоречий тысячи аргументов. Это чудо можно сравнить ещё с двумя чудесами: существованием законов природы и способностью человеческого мышления раскрывать их. Наиболее правдоподобным объяснением независимого формирования математических понятий в физике, как мне кажется, служит утверждение Эйнштейна, что единственным критерием для принятия физических теорий должна быть их красота… Математические понятия, которые стимулируют мысль бесспорно, обладают красотой. Однако высказывание Эйнштейна в лучшем случае относится к характеру теорий, в которые мы хотим верить, но не имеет отношения к точности, присущей той или иной теории. Поэтому мы займемся именно последним вопросом.

Возможное объяснение того факта, что физики используют математику для формулировки законов природы, состоит в том, что физики — довольно безответственные люди. Именно поэтому, когда физик обнаруживает взаимосвязь между двумя физическими величинами, которая напоминает связь, хорошо известную из математики, он немедленно приходит к заключению, что найденная им связь тождественна связи, рассмотренной в математике, просто потому, что он не знает никакой другой. Цель приведенного рассуждения состоит отнюдь не в том, чтобы опровергнуть обвинение физиков в известной безответственности. Не исключено, что это обвинение и справедливо. Тем не менее важно подчеркнуть, что математическая формулировка результатов наблюдений физика, часто довольно грубых, приводит в неправдоподобно многочисленных случаях к удивительно точному описанию большого класса явлений. Это обстоятельство показывает, что математический язык следует рассматривать как нечто большее, чем просто язык, на котором мы должны говорить; оно показывает, что математика на самом деле является правильным (подходящим) языком…

…эффективность и точность математической формулировки законов природы на языке таких понятий, с которыми удобно проводить различные манипуляции; при этом законы природы, как оказывается, обладают почти фантастической точностью, хотя и в узко ограниченном диапазоне условий. Я предлагаю называть закономерность, которую иллюстрируют эти примеры, эмпирическим законом эпистемологии (т. е. науки об основах теории познания). Этот закон вместе с принципами инвариантности представляет собой неотъемлемую часть теоретической физики. Без законов инвариантности утверждения теоретической физики не могли бы служить основой для объяснения явлений; но если бы не был верен закон эмпирической эпистемологии, то у нас просто не хватило бы духу совершать открытия, т. е. не было бы достаточных эмоциональных стимулов для успешного изучения законов природы. Доктор Р. Г. Сакс, с которым я обсуждал эмпирический закон эпистемологии, назвал этот закон догматом веры физиков-теоретиков. Это так и есть на самом деле (В этом месте идеи Вигнера в особенности перекликаются с идеями Эддингтона…). Этот догмат веры, однако, хорошо подкрепляется примерами из практики, куда более многочисленными, чем те три примера, о которых шла речь выше.

Эмпирическая природа предыдущих заключений представляется мне очевидной. Они, несомненно, не являются «логически неизбежными», и нет никакой необходимости для доказательства этого ссылаться на их применимость только к весьма незначительной части нашего знания неживого мира. Но было бы абсурдным верить в очевидность того, что существует математически простое выражение для второй производной от координаты, поскольку не существует простых выражений для самой координаты и скорости. Тем более удивительна готовность верить в чудесный дар, содержащийся в эмпирическом законе эпистемологии. Ведь способность человеческого разума «нанизывать» одно за другим 1000 умозаключений и не запутываться в противоречиях, о чем я говорил выше, - столь же чудесный дар…

Рассмотрим несколько примеров «ложных» теорий, которые дают пугающе (в силу их ложности) точное описание некоторых групп явлений …теори[я] свободных электронов, которая дает загадочно точное описание многих, если не большинства, свойств металлов, полупроводников и изоляторов. Она объясняет, в частности, тот факт (который никогда не удавалось понять на основе «настоящей теории»), что изоляторы обнаруживают удельное электрическое сопротивление, иногда в 10²⁶ раз превосходящее сопротивление металлов. Фактически нельзя найти каких-либо опытных опровержений того, что сопротивление изоляторов в некоторых условиях бесконечно, как это предсказывается теорией свободных электронов. Тем не менее мы убеждены, что теория свободных электронов представляет собою лишь грубое приближение, которое рано или поздно будет заменено на более подходящий способ описания явлений в твердом теле.

Достигнутые нами успехи позволяют сказать, что положение с теорией свободных электронов тревожное, однако оно вряд ли свидетельствует о непреодолимых противоречиях современных представлений. И все же теория свободных электронов внушает нам сомнения относительно того, должны ли мы безоговорочно принимать численное согласие между теорией и экспериментом как доказательство корректности теории. Мы уже привыкли к таким сомнениям (Л. Д. Ландау однажды очень четко сказал: «По принципу Бора согласие теории с экспериментом само по себе ничего не означает». — перев.).

Гораздо больше трудностей и сомнений возникло бы, если бы нам удалось в один прекрасный день разработать теорию сознания, или теоретическую биологию, с той же последовательностью и убедительностью, какой обладают наши теории неживой природы. Менделевские законы наследственности и развитие генетики могут оказаться предвестниками такой биологической теории. Более того, вполне возможно, что удастся найти достаточно абстрактный аргумент, который укажет на существование противоречия между такой теорией и известными принципами физики. Аргумент этот может оказаться столь абстрактным, что будет невозможно разрешить упомянутое противоречие в пользу той или иной теории - даже экспериментально. В такой ситуации наша вера в наши теории была бы сильно подорвана; возникло бы сомнение в реалистичности принимаемых нами понятий. Тогда мы испытали бы глубокое чувство крушения в наших попытках найти то, что я называю «конечной истиной». Довод в пользу принципиальной допустимости такой ситуации сводится к тому, что мы не знаем, почему так хорошо работают наши теории. Ибо их точность не может служить доказательством ни их истинности, ни взаимной согласованности. Автор данной статьи убежден в том, что ситуация, аналогичная этой, имеет место при сопоставлении современных законов наследственности и физики.

Позвольте мне все же закончить более оптимистически. Чудесная загадка соответствия математического языка законам физики является удивительным даром, который мы не в состоянии понять и которого мы, возможно, недостойны. Мы должны испытывать чувство благодарности за этот дар. Следует надеяться, что он не покинет нас и в будущих исследованиях и что он будет - хорошо это или плохо - развиваться к нашему большому удовлетворению, а быть может, и к нарастающему беспокойству, расширяя область познания окружающего нас мира.

Что думает всеведущий All о непостижимой эффективности математики в физике? Математика, безусловно, эффективна в физике — но, может быть, тут можно и с другой стороны посмотреть, сделав поправку на «субъективную объективность» физики, не рассматривая ее вне нас, человеков. Физические объекты — не природная данность, а работа человеческого мышления, как и математика. Вигнер касается этого, но только мельком, не углубляясь, когда говорит о выделении абстракций и пренебрежении определенными деталями объектов. То есть, сопоставления, изоморфизмы, можно сказать, строятся у него между объектами мира и объектами теории. А меня вот эти самые объекты мира беспокоят. Нет ведь такой штуки, как совсем уж объективные объекты мира. Кто-нибудь из физиков ставил вопрос так? Мне сейчас интересно, чтобы это были не философы, а естественники, и лучше всего физики.

Comments

[jamhed.livejournal.com]

ну почему только физика. 2+2=4 не вызывает сомнений даже у гуманитариев. а должно, по идее.

[http://users.livejournal.com/_glav_/]

По-моему, не важно, есть ли объективные объекты мира или нет, как не важно, является электрон волной или частицей. Важно, что физические теории позволяют предсказать, что, проведя определённые измерения, мы получим определённый результат. С другой стороны, концепция объективной природы и математической красоты важна для последующего познания окружающего мира. Т.е. получается, что сама точка зрения на эти материи определяется нашими целями, для чего именно нам необходим именно такой взгляд на мир.

[fregimus.livejournal.com]

В такой дихотомии, математика оказывается не только в «красивой» части, она еще и в той, что предсказывает точный результат. Я не совсем понял, почему Вы делаете эти две стороны в рассуждении — они ведь обе математилеские?

[grihanm.livejournal.com]

Можно смотреть и с другой стороны: эффективна, да не очень. Сплошные приближения. А можно ещё антропно: мы не в состоянии постичь то, для чего математика неэффективна, а то, что мы до сих пор постигли - верхушка айзберга.

[fregimus.livejournal.com]

Скажем, я не такой оптимист, как Вы, но — мне интересно, как именно физики относятся к удивительной эффективности математики в физике. Если бы математика была так же эффективна в философии, меня бы интересовали в первую очередь мнения философов.

[aytereschenko.livejournal.com]

Поражает, что средняя длина слов в тексте > 10 букв. Русский язык ужасен =)

[jamhed.livejournal.com]

Я больше имел в виду, что математические абстракции [2+2=4, в частности] воспринимаются как сами собой разумеющиеся универсальные законы, одинаково применимые в различных областях знания, не только в физике. Что, по-идее, совсем не очевидно. Что ни умаляет чудес самой физики как наиболее математическую из всех областей [прикладного] знания.

[gest_hds]

А чем не вариант мир как математическая структура? Эффективность математики становится тривиальной.

[v-s-c.livejournal.com]

"Это заставляет его сомневаться относительно взаимно-однозначного соответствия между ключами и замками."

А и не обязано быть такое взаимно-однозначное соответствие. Важно открыть замок, а сколько еще ключей его могди бы открыть - по большому счету не важно. Даже сейчас многие замки не открыты, а если отойти назад на 100-200-500-2000 лет ситуация становится еще хуже.

В общем, присоединяюсь к _glav_. ;-)

[fregimus.livejournal.com]

Вариант, вариант. Так кто из физиков об этом писал?

[lyuden.livejournal.com]

Если эта эффективность действительно обусловлена особенностями человеческого мышления - то поскольку эти особенности по определению неизменяемы (это же то что делает нас людьми) то их можно не учитывать, ну как движение солнечной системы вокруг ядра галактики при расчете парового двигателя.

И да как тут уже говорили, куча замков не открыта.

И вопрос о корректности мат. модели если она выдает данные согласующиеся с экспериментом, для меня не стоит. Термодинамика - это лютая шизофрения с точки зрения молекулярного строения вещества - и никого это не волнует.

[lyuden.livejournal.com]

Это видимо мечта математиков :). Например Stephen Wolfram. Я понимаю да там какой-нибудь чудесный хрустальный дворец построенный из пары аксиом, но в реальности это выглядит как попперовский (по-моему) дом на болоте который не тонет окончательно, лишь потому что строят его быстрее чем он уходит вниз.

[http://users.livejournal.com/_glav_/]

хм. а в чём противоречие?

[gest_hds]

Думаю, что если хорошо поскрести струнщиков, так каждый второй. Или вот живой пример: Max Tegmark. Тоже почти физик.

[ziegel.livejournal.com]

+1
если в руках молоток, то все вокруг похоже на гвоздь. И, (о чудо!), многое удается забить этим молотком с удивительной эффективностью. Иногда это оказывается очень полезно.
А других инструментов у нас нет или мы их не считаем инструментами. Ну в самом же деле, дрелью гвоздь забить очень трудно, а увеличительным стеклом и вовсе невозможно.

[fregimus.livejournal.com]

Я, наверное, никак не ухвачу мысль. Вопрос именно в невероятной эффективности математики для описания мира. Вот мы строим математические теории, которые и красивы, и предсказывают, да еще — о чудо! — экстраполируются далеко за начальные пределы, и предсказывают дальше. Точка зрения определяется целями — понимаю. Цель — чтобы красиво и предсказательно, тоже понимаю. Но главный вопрос, мне видится, в третьем, «чуде» экстраполируемости. Или я неправильно понимаю?

[fregimus.livejournal.com]

А вот Вигнер, наоборот, удивляется высокой точности и тому, как теории ВНЕЗАПНО оказываются предсказательными далеко за пределами тех данных и экспериментов, на которых они строились. Можно, конечно, это исключениями обозвать, но, мне кажется, примеры у него достаточно убедительные.

[fregimus.livejournal.com]

Ерунда. Не удивлюсь, если среднее число английских слов, затраченных на выражение той же мысли, окажется вдвое больше, чем в русском. Тут или слова короткие, но много их, или длинные, но поменьше.

[fregimus.livejournal.com]

Да, про Вольфрама я, конечно, знаю. Но он не физик все-таки, в обычном смысле.

[fregimus.livejournal.com]

Спасибо, посмотрю. Не читал такого.

[fregimus.livejournal.com]

Ну и что — и спрашивать нельзя? Ответ — так устроен мир. Да?

[dim-susami.livejournal.com]

[i]Чудесная загадка соответствия математического языка законам физики является удивительным даром, который мы не в состоянии понять[/i]
Математика создавалась для описания мира, а не как "вещь в себе". И совершенствовалась в тесной кооперации с физикой. Мы - физики - не изучаем "как оно есть на самом деле". Этим философы занимаются. Мы изучаем наблюдаемые измеряемые явления, ищем закономерности и строим модели. Модели мы строим математические, отчего же математике не соответствовать "физическим законам"?

[dim-susami.livejournal.com]

Нет, так устроена физика. Мы ее создавали с помощью математики.

[lyuden.livejournal.com]

Нет. Спрашивайте, пожалуйста. Просто мне как физику (кхм, надеюсь я достоен) - не интересны такие вопросы.

Для физики важно, чтобы новые теории давали в пределе предыдущие теории, которым они приходят на смену, вопрос о "правильности" (полезности для познания и т.п. математической стройности) не стоит. Старые теории - "уже правильные" поскольку описывают, что то в согласии с экспериментом и насколько бы красивой и стройной не была новая теория , если она не может открыть ту же дверь - fail. Наличие единственно верного способа математического описания явления не требуется, и Фейнманн, например, утверждал, что вредно, в силу самой сути мат моделей (мы берем только часть параметров) .

[http://users.livejournal.com/_glav_/]

Ну по большому счёту, это действительно "чудо".

Только тут, имхо, надо различать математичность законов природы и то, что абстрактные математические конструкции находят своё применение в реальности. В первом случае математика - это просто способ строгой и формализованной записи идей, которые отражают наши представления о реальности. И тут "чудо" в том, что эти самые законы природы вообще "существуют", а не в том, что их можно записать с помощью символов. Во втором случае математика - это искусство, как поэзия или музыка, суть продукты человеческого ума. И тут "чудо" в том, что результаты человеческого воображения оказываются похожими на результаты воображения Природы.

В то же время Законы Природы "существовуют" тоже, в некоторм смысле, лишь в нашей голове. Нет, результаты экспериментов вполне "объективны", и они не зависят от того, кто их осуществляет. Но вот осознание этих результатов как действие Законов Природы - это наше человеческое. Т.е. мы хотим, мы строим наше знание таким образом, чтобы оно описывалось Законами Природы. Возможно, в этом есть некоторая связь с наличием такого "чуда"...