A FREGIMO AMISSA

Эффект «зловещей долины» хорошо известен, например, мультипликаторам. Люди испытывают симпатию к пушистому созданию или человекоподобному роботу — но только до тех пор, пока человекоподобие невелико. По мере того, как существо делается все более и более похожим на человека, симпатия переходит в сильное отторжение и неприязнь. Многие испытывают отвращение к обезьянам, в то время как, например, медведь может вызывать чувство опасности, но не отвращения.



Существует множество гипотез, пытающихся объяснить этот эффект. Полагают, например, что, начиная с какой-то ступени человекоподобия, животное, робот или мультяшный персонаж начинает восприниматься как уродливый человек, а отторжение чужака или уродства — тоже широко известное явление, в частности, порождающее в отражении на общество расизм и шовинизм. Тем не менее, есть и другие гипотезы, объясняющие это наблюдение, и нисколько не худшие: истинная причина «зловещей долины» так и остается неизвестной.

В одной из свежих статей Курт Грей из университета Северной Каролины и Дэниел Вегнер из Гарварда описывают эксперимент в подтверждение еще одной любопытной гипотезы. Согласно ей, неприязнь (в статье говорится unnerve — нервировать, причинять беспокойство) случается, когда ожидания эмоциональности объекта общения расходятся с действительностью. В то же время, интеллект, присутствующий там, где его не ожидается, не вызывает у испытуемых отторжения.

Исследователи провели два эксперимента с добровольцами. В первом трем группам рассказали о новом будто бы суперкомпьютере «Дельта Крэй». Контрольной группе объяснили, что новый суперкомпьютер значительно мощнее и быстрее любого существующего. Группе, которую мы назовем «Э+» (от «эмоций»; в статье говорится experience), было рассказано, что новый суперкомпьютер способен испытывать эмоции: голода, удовлетворения, страха и другие. Третьей группе, «И+» (от «интеллекта», agency в статье) рассказали, что новая машина обладает самоконтролем и способностью к планированию своих действий. Подопытные должны были оценить, по шкале от 1 до 5, насколько их нервировала бы встреча с этим суперкомпьютером. Контрольная группа и «И+» не нервничали: средняя оценка 1,22 и 1,36 соответственно. А вот группа «Э+» оценила беспокойство на 3,27 балла!

Во втором эксперименте исследователи сформировали три такие же группы, но показывали им на этот раз фотографию некоего человека и рассказывали его историю. Контрольной группе было сказано, что человек этот нормален во всех отношениях. Группе «И-» объяснили, что этот человек страдает неким недугом, лишающим его самоконтроля и возможности планировать свои действия. Группе же «Э-» рассказали, что этот человек неспособен испытывать никаких эмоций: он не чувствует боли, не испытывает ни радости, ни страха. Оценки беспокойства в ожидании встречи с этим человеком для контрольной группы и группы «И-» различалсь мало: соответственно 1,88 и 1,98 (в целом, контрольную группу более нервировала встреча с обычным незнакомцем, нежели демонстрация компьютера, так что повышение индекса по сравнению с первым экспериментом ожидаемо). Однако, в группе «Э-» оценка нервозности оказалась значительно выше: 2,88.



Напрашивается вывод о том, что «зловещая долина» проявляется только в эмоциональных отношениях с объектом: как компьютер, обладающий эмоциями, когда их не ожидается, так и человек, лишенный эмоций, когда им следовало бы быть, равно вызывают отторжение. В то же время, ни компьютер, наделенный рациональным умом, ни человек, лишенный рационального ума, не вызвали у испытуемых существенной неприязни.

Если задуматься, результат не такой уж и неожиданный. Если ваш холодильник попросит вас растолковать темное место из Платона, вы еще с ним поговорите, а вот если он начнет жаловаться, что ему холодно и он вообще устал работать холодильником — тут вам и правда с ним будет нелегко…

________________________________
Gray K., & Wegner D.M. (2012). Feeling robots and human zombies: Mind perception and the uncanny valley. Cognition. PMID: 22784682. В Сети есть препринт.

Если нечто крякает как утка, ходит как утка и плавает как утка, то это — научная модель утки.

Питер Норвиг, известный специалист в области ИИ, автор самого популярного учебника по специальности и директор целого исследовательского института «Гугола», отвечает Хомскому, высказавшемуся в том ключе, что статистические модели языка достигли определенных успехов, но эти успехи можно считать инженерными, но никак не научными. Нужно сказать, что обе стороны изрядно хватают через край. Хомский отказывает в полезности изучению performance, полагая единственным значимым объектом изучения competence (кстати, скажите мне, как переводятся эти термины на русский). Норвиг утверждает, что инженерный и денежный успех статистических моделей является индикатором (хотя, оговаривается, и не доказательством) их научной верности. Приводя лингвистические примеры, Норвиг допускает ошибки и неточности, в паре мест производит некорректные и неприятные выпады ниже пояса; в целом, однако, дискуссия выходит любопытная.

Интересно, с каким ядом Норвиг сравнивает Хомского с телепроповедником О'Рейли в вопросе о том, должна ли наука отвечать на вопрос «почему»:

[телепроповедник О'Рейли высказался о том, что причина приливов и отливов неизвестна], и привел это как аргумент за существование бога. О'Рейли был высмеян противниками за то, что он не знал, что приливные явления… объясняются гравитационным взаимодействием Земли, Солнца и Луны… О'Рейли также не знает ни о существовании Фобоса и Деймоса, ни о том, что Марс и Венера обращаются вокруг Солнца, ни о том, что у Венеры нет спутников оттого, что в такой близости от Солнца нет места для стабильной орбиты спутника. Но для него не имеет значения, что противники думают о его астрономической безграмотности, поскольку его сторонники полагают, что он задает правильный вопрос: почему. Его не интересует, как работают приливы, он требует ответа, почему они работают. Почему Луна находится на таком расстоянии, чтобы обеспечивать небольшие приливы и стабилизировать ось земного вращения? Почему гравитация работает так, как она работает? О'Рейли прав в том, что на эти ответы может отвечать мифология, философия, религия — но не наука.

Больше всего меня, конечно, огорчает именно такой поворот понимания науки. Это, по счастью, далеко не общий взгляд на вещи — нужно сказать, что, например, Хокинг задает именно вопрос о том, почему гравитация такая, какая она есть, как один из самых важных в астрофизике и космологии — но он все шире распространяется. Кто знает, как изменится та же самая астрофизика, когда статистический анализ неохватных массивов данных сделается основным инструментом анализа? Впрочем, по самому своему предмету астрофизике практически обеспечено счастливо избежать финансового успеха — в отличие от лингвистики и когнитивной науки, некоторые области которых можно уже сейчас считать съеденными прикладной лингвистикой, добившейся — невозможно этого отрицать — невероятных успехов.

От Хомского и Хокинга до Норвига — разрыв в поколение. Мне иногда кажется, что здесь, будто в мутном зеркале, гадательно, но проглядывает будущая смена парадигмы понимания, виднеется то, что придет за наукой. Конечно, новая парадигма будет прогрессивной — по определению — но почему-то я заглядываю в это зеркало не столько с интересом, сколько с удивлением, если не сказать ужасом. Старая парадигма мне пока милее. А у вас как с этим дела?

Странная история (посвященная скромному мне, между прочим!), в которой адмирал Мбекве, запутанный хитроумными враждебными ололортами, так и не приходит к истинности или ложности физикализма, но зато так старается, что вывихивает себе обе челюсти разом, невзирая на то, что анатомически это невозможно даже на флоте.

Сырые, только что освежеванные мысли.

Явление метастабильности хорошо известно в электронных схемах. Арбитр — электронное устройство, которое вычисляет, грубо говоря, по какой из входных линий сигнал пришел первым. В различных моделях арбитров возникает ситуация, когда схема приходит в неустойчивое состояние. Неустойчивое состояние разрешается (во всяком случае, инженер старается сделать схему такой, чтобы оно разрешалось). Однако (в моделях, опять же) оказывается, что построить арбитр, который гарантированно разрешает конфликт, невозможно: для любого арбитра случится такая ситуация, что схема не придет в определенное состояние ни за какое конечное время.

( ... )

Расскажите мне, каким вы представляете себе искусственный интеллект. Если течь идет о машине или роботе, должен он передвигаться? уметь разговаривать вслух и понимать речь? обладать мимикой и жестами? Обладать логикой? Уметь быть нелогичным? Показывать эмоции? Какие у машины должны быть органы чувств? Какой бы проверке вы подвергли это устройство, чтобы убедиться, что оно обладает интеллектом?

Обладают ли все без исключения здоровые на голову люди интеллектом? Есть ли интеллект у малых детей, или он образуется по мере взросления? Есть интеллект у собак? мышей? ящериц? муравьев? пауков? У одноклеточных? Меня интересуют ваши собственные критерии и размышления, в особенности если вы далеки от профессиональных исследований когнитивных вещей. Все, что вы думаете по этому поводу, и ответы на хотя бы некоторые из этих вопросов, и на другие, конечно, — свободная тема.

Возможность редукции всего к простым фундаментальным законам не предполагает возможности начать с этих законов и реконструировать Вселенную. Конструкционитская гипотеза разваливается, натолкнувшись на двух близнецов: масштаб и сложность. Поведение больших сложных агрегатов элементарных частиц, как оказывается, не понимаемо в терминах простой экстраполяции свойств немногих частиц. Вместо того, на каждом уровне сложности возникают новые свойства… На каждой стадии [познания] необходимы совершенно новые законы, концепции и обобщения, требующие вдохновения и творчества не менее, чем предыдущая. Психология не есть прикладная биология, а биология не есть прикладная химия… Мы видим, что целое на просто является более чем суммой частей, но становится качественно иным, нежели сумма частей.
(Anderson P W 1972)

Разговор нейровычислительного лингвиста (который собирается дожить) с нейробиологом (который не собирается), начавшийся за Фрейда и продолжившийся, как обычно.

( Read more... )
На этом месте я прекратил мучить моего замечательного собеседника и решил мучить вас спросить вашего мнения. Типа, где мы вообще, и куда идем, и почему все так плохо. Или так хорошо — кому как кажется.

Началось с плохо сходящегося разговора dennetа и kosilova о свободе воли, который собрал и прокомментировал ivanov_petrov. Вот еще одна ветка, которая мне особенно интересна, потому что разговор был со мной.

О пылесосе

И назвал Бог твердь небом.
— Быт. 1, 8

kosilova:
Робот[-пылесос] может познать вашу квартиру. Я не сомневаюсь. А вот с чего он начнет познавать звездное небо? Квартиру он начал познавать, потому что программисты им плотно позанимались. Небо он начнет познавать только в двух случаях - либо им программисты плотно позанимаются, либо он решит, что небо это вид квартиры и его надо пропылесосить. Но, думаю, второй вариант настолько маловероятен, что вы лично его отключите задолго до этого.

То есть чувствуете, как только вы отнимаете от человека свободу, делаете его роботом - на сцену выходят Бог и безумие. Бог как абсолютный программист, безумие как абсолютный произвол.

Без кого-то из них троих - свободного человека либо Бога либо безумия - у нас не получается познания зведного неба при помощи пылесоса

fregimus:
Люди начали познавать звездное небо, полагая, что это огромный хрустальный кумпол радиусом локтей так под двести, оснащенный драгоценными серебряными дырочками. И ничего, хозяин не рассердился, не выключил.

kosilova:
А что это доказывает? Люди уже тогда были не пылесосами.

( ... )

О наблюдательной нейронауке

Информация — еще не знание.
— А. Эйнштейн

nature_wonder:
Ну подождите, нельзя же совсем отрицать, что между объектом [теории] "А" и объектом [теории] "Б" нет связи. Наука-то как раз исходит из того предположения, что такая связь не просто есть - эта связь весьма плотная, если не сказать прямая.

fregimus:
Прямая… хе! Вашими б устами — да богу в уши.

А насчет науки я вот что скажу. Наука больше не озабочена пониманием — наука, как мне тут сказали, занимается уточнением прогнозов. Если это изменение заметно в других науках, то в мозговедении оно невидимо, потому что иначе в этой области никогда не было. Единственное предположение, которое может сделать эта «наука» — о плотной и непосредственной связи между явлениями, поскольку опосредованная связь не попадает в сферу ее внимания в принципе. Это не наука в «старом» понимании — это поиск корреляций в неструктурированном потоке данных, не более того. Эксперимент без гипотез и поиск эмпирических зависимостей в их результатах. Влияние фаз луны на репродуктивную активность клопов — как-то так.

slavin_e спросил меня (не прошло с тех пор и года):

Каким образом, по вашему мнению, возник человеческий интеллект? [...]

Я немного программирую, и знаю из опыта, что бывает такая ситуация, что для небольшого изменения функциональности программы требуется переписать ее с нуля, т. к. это изменение требует полной смены плана программы. В частности, иногда приходится перепридумать то, каким образом структурированы данные, которые использует алгоритм в ходе своей работы, и из-за этого код меняется до неузнаваемости. Как же человеческий интеллект, развиваясь в ходе эволюции, мог перескочить такие «барьеры», которые не преодолеваются за множество мелких шагов, а только сразу, за один большой шажище, который вряд ли может совершиться случайно? Или вы считаете, что путем мелких случайных изменений программа мозга достигла с нуля того уровня, когда она может изменять себя уже не случайно, а алгоритмически?

Ответ на простой вопрос может быть очень непростым. У меня не получится ответить на него коротко. Если попытаться выразить сказанное ниже в нескольких словах, например, «fregimus сказал, что мозг — это компьютер», то получится глупость. Между тем, ниже, как это ни странно, я действительно это едва ли не скажу.

( Аналогия между мозгом и компьютером одна из самых сильных и самых неверно применяемых... )

Не перестаю восхищаться сравнением Минского: понятие интеллекта (вообще — человеческого в том числе) схоже с понятием о неисследованных областях Африки. По мере исследования граница передвигается, а исследуемый предмет видоизменяется. Те задачи, которые относились к области ИИ некоторое время назад, перешли в разряд технологии, и упоминаются среди «интеллектуальных» редко — например, распознавание речи и текста, машинное зрение, игра в шахматы и т. д. Для них появились свои границы и свои названия.

В силу популярности термина, то, как определяют ИИ, зависит от того, кто определяет:

1. Специалисты. Фраза «искусственный интеллект» обозначает весьма широкую область вычислительной математики, поэтому встречается в основном в учебниках, обзорных статьях и первых абзацах прочих статей. По охвату поля деятельности можно сравнить ее, например, с широким разделом физики, скажем, физикой полупроводников. Само собой, что вглубь все дробится на узкие области: представление знаний, разные абдукции-инференции, машинное обучение, перцепция, заземленные агенты, различные сети и классификаторы, коллективные вычисления и прочая и прочая — я здесь и десятой части не называю. Здесь есть и фундаментальные исследования, и прикладные, и совсем уж разработка технологий. Все как у людей, в общем.

2. Философы. Ничего не могу сказать о философах. Там все сложно, и, кажется, тоже по-разному.

3. Все остальные. Тут подход двойственный. Если чего-то из области ИИ (перевода с естественного языка на другой, например) нет в последнем мобильном телефоне, вопрошается вопрос: «Ну и чё, ну и где ваш ИИ? Нету? То-то!». Если же это самое что-то в телефоне уже есть, то вывод делается иной: «Да какой же это интеллект? Это ж даже у меня в телефоне есть!» Tertium non conspici.

Так что понятия о том, где находятся и как велики неисследованные области Африки, существенно различаются в зависимости от того, кто эти понятия понимает.

1  2  3  4  5  6   7 

XIV. Мышление математика

Рассмотрим теперь второй вопрос, в рассуждениях о котором часто упоминают ТГ, и где это упоминание часто кажется, хотя бы на первый взгляд, уместным. Речь идет об отношении математики и сознания работающего человека-математика. Встречается такая точка зрения, что математическому уму некоторые математические факты доступны как истинные непосредственно, минуя доказательство — в виде интуитивных «откровений». В числе аргументов за эту точку зрения часто выдвигают как теоремы Геделя о неполноте, так и невычислимость в смысле Черча-Тьюринга. Среди них часто повторяются аргументы Дж. Лукаса и Р. Пенроуза. Подробный анализ этих рассуждений имеется в книге [3], главы 2 и 6; здесь мы рассмотрим два примера.

( Рассуждение Лукаса... )

1  2  3  4   5   6  7

XII. O чем не говорят теоремы Геделя

Когда мы имеем дело с математическими объектами и утверждениями о них, важно помнить, что в теоремах математики нет ни одного лишнего слова. Давайте вернемся к формулировке теорем Геделя и рассмотрим их внимательно.

Первая ТГ: Фундаментальная система теорем, выводимых формальной системой, не может быть одновременно полной и непротиворечивой.

Вторая ТГ: Если фундаментальная система теорем, выводимых формальной системой, содержит доказательство собственной непротиворечивости, то она противоречива.

Слово фундаментальная здесь, напомню, говорит о том, что интерпретация, выражает элементарную арифметику: натуральные числа, сложение и обязательно умножение, а также элементы логики, чтобы можно было об этих числах и выражениях что-то утверждать. Итак, обе теоремы Геделя ограничивает полноту и непротиворечивость только ФСС, говорящих об арифметике. Две этих теоремы совокупно называют теоремами о неполноте арифметики (ТГНП) — именно, обратите внимание, арифметики.

Это ограничение чрезвычайно существенно, хотя о нем и забывают те, кто применяет теорему Геделя ко всему подряд. Хороший пример такого нелепого высказывания есть в [3]: «Поскольку Библия учит всему, она полна. Следовательно, по ТГНП, Библия противоречива». Это рассуждение было бы верным, если бы условие фундаментальности было соблюдено — но Библия не является формальной теорией, утверждающей о сложении и умножении натуральных чисел, и не содержит аксиом или правил вывода теорем! Здесь применено слишком емкое понятие «все». Математики говорят обо «всем» в некоторой области. Арифметика говорит «все», но только о натуральных числах. То «все», о котором говорит Библия, есть такое же ограниченное «все». Для кого-то она может быть и учебником жизни на каждый день, но ежедневная жизнь все же чрезвычайно удалена от строгих идеальных пространств арифметики.

Интересно, что даже теория действительных чисел не попадает под понятие фундаментальной арифметики, хотя натуральные числа и являются подмножеством действительных. В теории действительных чисел нельзя говорить о натуральных — внутри теории они никак не выделяются, «ничем не отличаются» от других, нецелых чисел. Поэтому даже такой «близкой» теоретической системе, как действительная математика, теорема Геделя не запрещает быть одновременно полной и непротиворечивой. Она и в самом деле одновременно и полна, и непротиворечива.

Геометрия не «подчиняется» ТГНП по той же причине: геометрию можно отобразить на некое подмножество действительной теории, но в геометрии нельзя работать с целыми числами отдельно от прочих. Геометрия тоже может быть и полной, и непротиворечивой.

Арифметика Пресбургера — самая обычная арифметика, только лишенная понятия об умножении — тоже недостаточно сильна, чтобы удовлетворять требованиям ТГНП. Она в точности совпадает с обычной арифметикой, но только не делает ни понятия умножения, ни одного утверждения о нем. Доказано, что она полна и непротиворечива — но это не противоречит выводам Геделя, потому что и эта система не является фундаментальной арифметикой.

Большинство общефилософских утверждений, привлекающих ТГНП, таким образом, ошибочны именно из-за неприменимости последних к той области, к которой их пытаются применить.

Рассмотрим такой пример (Кирьянов Д. Исповедание великого логика. Интервью журналу Нескучный сад, сентябрь 2009):

Гедель исследовал арифметику и показал в своих теоремах, что ее непротиворечивость не может быть доказана, исходя из ее самоочевидных принципов: аксиом сложения, вычитания, деления, умножения и проч. Нам требуются для ее обоснования некоторые дополнительные допущения. Это на самой простейшей теории, а что говорить о более сложных (уравнениях физики и т. п.)!

Первое утверждение следует понимать как верное, хотя и построено оно, скажем, чрезмерно популярно; никаких аксиом вычитания или деления в арифметике нет. А вот о более «сложных» теориях ТГНП как раз не утверждают ничего! Уравнения физики, в частности, опираются не на арифметику, а на вещественные и комплексные числа, к основополагающим теориям которых ТГНП неприменимы в принципе. Более того, еще важнее осознавать здесь, что физика отнюдь не выводится из аксиом — физические формулы появляются из математического аппарата теорий, описывающих наблюдаемую реальность.

Бывает, что ТГНП приписываются утверждения, и вовсе ей противоречащие. Рассмотрим теперь такое утверждение:

теорема Гёделя… показыва[ет], что негуманитарий… не способен осознать всех аксиом своего мышления.

Если понимать здесь «негуманитария» как некую вычислительную систему, то утверждение это будет о том, что формально-теоретическая система будто бы не может сформулировать своих собственных аксиом. Это неверно не только для арифметически фундаментальной системы — это неверно для любой ФС! Например, в интерпретации системы ХИХИ, строка ХИ, верная по положению, является аксиомой. Система ХИХИ «произносит», или, в терминах этого утверждения «осознает» строку ХИ. Впрочем, об «осознании» системой себя, точнее, о выводе ею утверждений о себе самой, мы еще поговорим.

Эту же ошибку мы видим и в следующей цитате (Бойко В. С. Йога. Искусство коммуникации, 2-е испр.):

В контексте данной работы теоремы Гёделя показыва[ю]т, что любую жизненную ситуацию человек принципиально не способен понять, находясь в ней.

Ни о каких «человеках» ТГНП не говорят, речь идет только лишь о формально-теоретических построениях. В отличие от человека, формальные системы в принципе не способны попадать в ситуации: все, что происходит в ФС, происходит внутри нее. Это верно в контексте любой работы, а не только цитируемой.

Тут можно было бы остановиться, ибо ничего более о применимости ТГНП мы здесь добавить не сможем, но позволю себе проговорить небольшое отвлечение, которое нам важно будет в дальнейшем. Математика, будучи дисциплиной глубоко формальной, позволяет нам отринуть любые понятия о затратах времени, энергии, денег и прочих ограниченных ресурсов на вычисления. Мы формулируем правила вывода таким образом: если мы вывели строку X, то мы выведем из нее и строку Y, и все это мы производим вневременным образом, ни мало не считаясь с тем, что рост числа выведенных строк будет экспоненциальным, что их число превысит возможности любого компьютера, попытайся мы проделать этот сугубо мысленный процесс на реальной вычислительной машине. Условие, которое мы ставим, мысленно направляя процесс порождения теорем в теории, касается только бесконечности: мы не можем дать нашему воображаемому вычислителю задание «перенумеровать все числа, а затем…» — по правилам игры, мы можем запустить его в такое бесконечное путешествие лишь однажды, — но и это ограничение лишь правило математической игры, а вовсе не исходит из трудностей реального мира.

Человек поставлен в ситуацию непрерывного взаимодействия со средой, поэтому никакая «внутренняя» формальная система не опишет поведения человека полностью. Здесь мы возвращаемся к тысячу раз прожеванному, но так многими и не впитанному вопросу о проведении границ. В любой человеческой ситуации всегда оказывается задействована вся вселенная; что нам отсечь, назвать неважным, а что оставить внутри — всегда вопрос произвола исследователя, его опыта, интуиции; если сделать это сразу неверно, то все теоретизирование, скорее всего, пойдет насмарку. Но, в любом случае, граница, по которой мы отсекаем «жизненную ситуацию человека», должна проходить намного дальше его мозговых оболочек.

Букалов А.В. Мышление и квантовая физика: теоремы Геделя, Тарского и принцип неопределенности. Физика сознания и жизни, космология и астрофизика, 2, 2001:

[1-я ТГ] утверждает принципиальную невыразимость или невозможность вербализации (т.е. ненаблюдаемость) математических объектов (или объектов математического, да и любого другого, мышления). Любопытно отметить, что Гедель при доказательстве своей теоремы исходил из парадокса лжеца (некто говорит: «Я лгу»...).

Первое утверждение говорит о том, будто бы арифметика вообще не содержит ни одного утверждения о числах. Это, конечно же, нелепость — каждый, изучавший в школе арифметику, думаю, приведет одно-другое арифметическое утверждение, чем и опровергнет смелый софизм д-ра Букалова. Спорить с эквивалентностью вербализации и наблюдаемости, пожалуй, выходит за рамки нашего разговора. Любопытно, однако, отметить, что Гедель при доказательстве своих теорем из «парадокса лжеца», как мы уже видели, не исходил. Более того, то, что Геделево утверждение G: G недоказуемо в теории T не может быть переформулировано как G': G' ложно, то есть что оно не эквивалентно парадоксу лжеца, как раз и говорит теорема Тарского, тоже склоняемая д-ром Букаловым на все лады.

Сокал, Брикмон (А. Сокал, Ж. Брикмон. Интелектуальные уловки. М. : Дом интеллектуальной книги, 2002) приводят такой невероятный пример постмодернистски-фривольного обращения с теоремами Геделя и с логикой вообще, цитируя дискурс социального философа Р. Дебрэ из его «Критики политического разума» (1981):

Открытие «секрета» коллективных бедствий, то есть условия a priori всякой прошедшей, настоящей и будущей политической истории, содержится в нескольких простых детских словах. Но если мы заметим, что определения прибавочного труда и бессознательного состоят из одной фразы (а в физических науках уравнение общей теории относительности состоит из трех букв), то мы остережемся смешивать простоту с упрощенчеством. Этот секрет имеет форму логического закона, обобщения теоремы Геделя: нет организованной системы без закрытия и никакая система не может быть закрытой при помощи только лишь её внутренних элементов.

Ну что ж, ежели такой закон является неким обобщением теоремы Геделя (речь идет о 2-й теореме, как я понимаю) — доказательство обобщения в студию, гг. философы! Ни о чем таком в ТГНП и близко речи не идет.

Как видно из этой небольшой подборки примеров, любое применение ТГНП в гуманитарных выкладках — почти наверняка ошибка. Нам, однако, следует рассмотреть два более глубоких случая применения арифметической полноты к сознанию. Логические ошибки в этих случаях далеко не так очевидны, как в приведенных выше.

1  2  3  4   5   6  7

1  2   3   4  5  6  7

VIII. Машина доказательств

ФСС элементарной арифметики (ФСЭА), как мы уже знаем, производит строки, интерпретируемые как утверждения арифметики. Она содержит аксиомы, начальные верные строки, и выводит новые строки — теоремы. Мы не будем рассматривать конкретные аксиомы⁸ и правила вывода новых строк из уже выведенных; нам достаточно помнить, что они заданы. В алфавит ФСЭА входят символы для кодирования чисел и переменных, операции + и ×, сравнение =, скобки, кванторы существования E и всеобщности A (мне придется обозначить их латинскими буквами из-за типографских ограничений), и логическое отрицание ~. Числа кодируются в такой же «единичной» системе, какую мы уже рассматривали, количеством «звездочек». Так же кодируются и переменные, только начинаются они со специального символа переменной x: вместо x, y, z, a, b система выдает x•, x••, x••• и т. д. В примерах ниже мы, однако, будем записывать числа в десятичной записи, а переменные буквами.

Примеры утверждений, которые выводит ФСЭА:

Ex:x×2=6

Здесь говорится, что число 6 четно (найдется такое число x, что 2×x=6)

~Ex:Ey:(x+1)×(y+1)=13

13 простое число: не существует таких x и y, что (x+1)×(y+1)=13. Прибавление единицы требуется, чтобы каждый сомножитель был больше 2⁹.

Ax:Ea:~Eb:Ec:(x+a)=(b+1)×(c+1)

Здесь утверждается, что существует бесконечно много простых чисел. Следует читать это так: для любого x найдется a такое, что не существует таких b и c, чтобы равенство (x+a)=(b+1)×(c+1) выполнялось. Иными словами, для каждого x найдется такое a, что (x+a) будет простым числом. Поскольку a>0, то и x+a>x: какое число x ни возьми, найдется простое число, еще большее.

В образовании смысла строк мы следуем правилам, которые мы же сами установили для их интерпретации. Например, «~» мы читаем «неверно, что», A как «для всех», E как «для одного или более», «:» как «верно следующее:», и так далее. Тогда утверждения, выводимые ФСЭА, становятся теоремами. Являются ли они «истинными»? Здесь нужно задуматься о понятии истинности.

Мы изначально полагаем аксиомы истинными, верными утверждениями. Их запись в виде строк ФСЭА интерпретируется именно так, как мы того хотим, с тем смыслом, которые мы в них закладывали, когда придумывали эти строки¹⁰. Являются ли истинными в этом смысле и теоремы? Ровно настолько, насколько мы можем доверять формальному механизму вывода, аппарату формальных систем.

На поверхности кажется, что этот механизм работает надежно. Можно увидеть, как выводятся приведенные выше утверждения, которые мы понимаем как верные в арифметике. Но ведь теорем, которые производит ФСЭА, бесконечно много. Поэтому мы должны поставить вопрос «доверия» к нашей механике вывода. В ФСС сложения чисел доказательство было довольно простым, однако, ФСЭА намного сложнее, и ее «правильность» отнюдь не очевидна.

Вопросы касательно ФСЭА, которыми мы зададимся, следующие. Во-первых, нас интересует, все ли возможные теоремы арифметики выведет наша машина? Например, будет ли среди ее строк доказательство Великой теоремы Ферма? Предположения Гольдбаха? Свойство, которое нас интересует, мы назовем полнотой системы: система полна, если она выводит, в интерпретации смысла, все истинные утверждения в некоей области.

Второй, еще более важный вопрос, который нас волнует: не произойдет ли так, что два утверждения, полученных ФСЭА, будут противоречить одно другому? Например, одним путем мы получим утверждение, что предположение Гольдбаха истинно, а другим — что оно ложно. Такое нарушение будет фатальным для всей системы арифметики: из противоречия можно вывести все, что угодно! Это легко показывается в формальной логике. Из такого противоречия следует, что 0=1, что 2×2=5, что простых чисел не существует, что их существует конечное количество, что количество простых чисел бесконечно — все, что пожелаете. Противоречия в выведенных теоремах ни в коем случае быть не должно. Свойство системы не выдавать противоречивых (в интерпретации смысла) утверждений назовем непротиворечивостью.

Является ли элементарная арифметика полной и непротиворечивой теорией? Над этим вопросом работали великие математики начала XX в. Попытка вывести самообоснованность теории множеств тогда потерпела неудачу¹¹. В ответ на это Давид Гильберт сформулировал в начале 20-х гг. программу по поиску способа вывода всех математических утверждений из аксиом путем механической вычислительной процедуры. Формулировка требований, заданных Гильбертом к аксиомам и процедурам математики, такова: требуется найти (а) процедуру, которая бы выводила все без исключения истинные математические утверждения, и только истинные, из заданного однажды набора аксиом; (б) самый набор этих аксиом и (в) алгоритм доказательства любого наперед заданного утверждения, чтобы определить за конечное время, возможно ли вывести это утверждение из аксиом (в таком случае, оно истинно) или нет (и тогда оно ложно).

Таким образом, Гильберт сформулировал задачу поиска, в наших терминах, полной и непротиворечивой формальной системы арифметики, и дополнил ее требованием конструктивной вычислимости ¹²принадлежности лексически верной строки множеству синтаксически верных строк.

Над реализацией этой программы математики работали еще 10 лет, до тех пор, пока Курт Гедель не обнаружил фундаментальное свойство формальных систем, которое предопределило неудачу программы Гильберта и невозможность аксиоматизации математики.

IX. Бета-код Геделя

Рассуждение Геделя основано на арифметическом кодировании алфавита, строк и правил ФС. В самом деле, мы можем закодировать алфавит ФС числами. Когда мы это сделаем, правила переписывания строк ФС можно записать в виде арифметических операций над числами. О любом числе можно задать вопрос, является ли это число кодом лексически верной строки в данной ФС. Если ответ на него положительный, далее можно спросить, является ли это число также и кодом синтаксически верной строки. Если да — то мы имеем дело, на семантическом уровне, с кодом теоремы арифметики. Таким образом, выходит, что среди чисел есть подмножество кодов теорем арифметики. Множество всех остальных чисел можно назвать множеством не-теорем арифметики (либо они лексически недопустимы, либо не выводимы системой). Будем называть числа вычислимыми формальной системой, если они выводимы нашей закодированной числами ФС.

Для примера, закодируем нашу первую систему ХИХИ в виде чисел: заменим Х на 1, И на 2, А на 3¹³. Начальная верная строка ХИ тогда первращается в число 12. Теперь перепишем на языке чисел правила системы.

1. К любому числу, заканчивающемуся на 2, можно дописать в конец 3. Математически это можно выразить так: если n вычислимое число, и остаток от деления его на 10 равен 2, то 10×n+3 тоже вычислимое число.

2. Любую «подстроку», следующую за 1, можно «удвоить». Операции «взятия подстроки» и «удвоения», разумеется, следует записать арифметически. Пусть наше число содержит в середине или в начале 1 (пример 23132). Часть, заканчивающуюся 1 (231 в примере) запишем как m×10+1, где m≥0 (в нашем примере m=23). Чтобы приписать к этому числу «хвост» (32), умножим его на 10ⁿ, где n — длина «хвоста» (у нас n=2, 10ⁿ=10²=100): (m×10+1)×10ⁿ, в нашем примере это будет 23100, а затем просто прибавим «хвост», то есть запишем формулу как (m×10+1)×10ⁿ+j, где j обозначает «хвост» (у нас j=32). Чтобы он поместился в отведенное ему разрядное место, мы должны ввести ограничение j<10ⁿ. «Удвоить хвост» можно, еще раз умножив результат на 10ⁿ и прибавив j. Таким образом, правило (2) можно сформулировать так:

Если (m×10+1)×10ⁿ+j, где j<10ⁿ, вычислимое число, то и (m×10+1)×10ⁿ+j)×10ⁿ+j вычислимое число.

Запись правил (3) и (4) в арифметической форме оставим как упражнение читателю.

Все это выглядит чрезвычайно запутанным и искусственным, но нас сейчас не интересует сложность и «неинтересность» этого вывода. Самое главное здесь, что путем формального, механического преобразования можно перейти от записи правил операций над строками к записи правил в виде операций над их кодами, числами. А как только мы переведем описание ФС на язык арифметики, мы сможем сформулировать и задачи, ставящие вопросы об этой ФС, на том же языке арифметики. Например, задача о выводимости ХА переформулируется в таком виде: входит ли число 13 во множество чисел, вычисляемых данной, описанной в виде арифметических действий, ФС?

X. Теоремы Геделя

Ничто не препятствует нам распространить рассуждения о кодах ФС на самое арифметику, вернее, ее формальную систему — ФСЭА. Переписав ее правила в виде арифметических алгоритмов, мы закодируем каждое утверждение, получаемое ФСЭА, натуральным числом.

Что интересного произойдет, когда мы сделаем это? ФСЭА достаточно мощна, чтобы порождать язык арифметики. В тоже самое время, мы переписали ее правила на тот же самый язык! Иными словами, в таком выражении ФСЭА формулирует утверждения о себе. Например, мы можем спросить, входит ли число X во множество чисел-кодов утверждений ФСЭА? Тем самым, мы задаем вопрос, является ли число Х кодом верного утверждения, то есть теоремы, арифметики. Понятно, что число мы можем теперь рассматривать двояко: как собственно число, и как код утверждения о числах.

Гедель доказывает, что возможно (и показывает, как) сконструировать в ФСЭА утверждение «Число G не входит во множество кодов теорем, выводимых ФСЭА», таким образом, чтобы код этого утверждения в точности совпал с самим числом G¹⁴. Каковы последствия существования такого числа?

Попробуем «спросить» арифметику об истинности этого утверждения. Верно ли на самом деле, что число G не входит во множество кодов теорем, выводимых ФСЭА?

Предположим, что ответом арифметики на этот вопрос будет «да». Это означает, что утверждение это выводимо в ФСЭА, а это в свою очередь, означает, что число G, его код, входит во множество кодов выводимых теорем… Но позвольте-ка, ведь если это так, то в арифметике оказывается противоречие: получается, что число G и входит во множество кодов теорем, и не входит в него — результат получается разным в зависимости от пути формального вывода, которым мы идем.

Предположим теперь, что число G, код утверждения о том, что G не является кодом теоремы, и на самом деле не является кодом теоремы. В таком случае, противоречие снимается. Однако, в этом случае арифметика оказывается неполной! У нас есть верное утверждение (о том, что G не является кодом теоремы), которое, хоть и верное, но не входит в число теорем арифметики. Получается тогда, что арифметика «не знает» всех верных утверждений о натуральных числах.

Это рассуждение и является основным в первой теореме Геделя о неполноте. Формулировка этой теоремы была в дальнейшем значительно усилена Россером; когда говорят о теореме Геделя, имеют в виду обычно первую теорему о неполноте арифметики в формулировке Россера.

Обратите внимание, что такое замыкание нашего рассуждения возможно не в любой ФС. Например, утверждения системы ХИХИ не являются таковыми о натуральных числах; строку системы ХИХИ нельзя интерпретировать как «x не входит во множество Z», ведь у нас нет отображения этих строк на утверждения о числах. Кроме того, она не описывает и системы кодирования утверждений на языке, который она производит. Таким образом, ФС, попадающая под обсуждение теоремы Геделя, должна быть достаточно мощна, чтобы выражать, в некоей интерпретации смысла, действия элементарной арифметики. Системы, для которых такая интерпретация в принципе возможна, мы, вслед за Подниексом [2] назовем фундаментальными.

Давайте теперь проговорим суть вывода теоремы Геделя-Россера:

Фундаментальная система теорем, выводимых формальной системой, не может быть одновременно полной и непротиворечивой.

Этот вывод остается верным применительно к любой фундаментальной системе (то есть, с различными наборами аксиом и правил), не только к конкретной ФСЭА. Например, вполне естественно включить G в число аксиом нашей системы. Раз уж мы знаем, что утверждение G истинно, давайте добавим его к списку аксиом нашей ФСЭА. К сожалению, это не снимает противоречия. Сделав это, мы получим другую формальную систему, ФСЭА′, в которой, по теореме Геделя, есть свое геделево число G′. Можно и его добавить к аксиомам ФСЭА′ — мы получим новую систему ФСЭА′′, но и в ней будет свое геделево число G′′ — и так далее до бесконечности.

Разрешения у этой проблемы нет: арифметика не может быть полностью выражена набором аксиом и механических правил вывода, то есть и арифметика, как и теория множеств, не обосновывает сама себя. Открытие Геделя предопределило крах программы Гильберта по поиску самообоснованной, самосовершенной, заключенной самой в себе арифметики — и математики вообще.

Здесь можно увидеть некоторое сходство с геометрией. Изменяя пятый Евклидов постулат о том, что через заданную точку проходит ровно одна прямая, параллельная заданной прямой, мы получим разные непротиворечивые системы геометрии. Существенная разница в том, что геометрия, в отличие от арифметики, не порождает языка, на котором можно выразить аксиомы и правила геометрии. Тем не менее, общая картина арифметического состояния дел нам ясна: имеются некоторые истинные, в смысле более сложных, «внешних» теорий, утверждения, которые не могут быть ни доказаны, ни опровергнуты в арифметике. В то же время, эти внешние теории страдают тем же недостатком: в них имеются свои геделевы утверждения — и так, опять же, до бесконечности. Единой совершенной теории арифметики не существует. Есть более сильные фундаментальные теории и более слабые — например, аксиоматическая теория множеств ZFC сильнее аксиоматической арифметики Пеано в том смысле, что первая доказывает утверждения, недоказуемые в последней, но «абсолютной» фундаментальной теории все-таки существовать не может,

Стоит, для полноты картины, привести здесь, без доказательства или рассуждения, формулировку второй теоремы Геделя о неполноте арифметики:

Если фундаментальная система теорем арифметики, выводимая формальной системой, содержит доказательство собственной непротиворечивости, тогда и только тогда эта система противоречива.

Далее нам следует порассуждать о последствиях результатов, полученных Геделем, для математики, и лишь затем мы рассмотрим различные аргументы о применимости этих результатов к моделям и сущности сознания и мышления.

1  2   3   4  5  6  7
__________________________________
⇧ 8. Множество аксиом ЭА счетно-бесконечно, они тоже выводятся правилами.

⇧ 9. В ЭА рассматриваются натуральные числа, поэтому переменная может принимать значения 1, 2, 3 и так далее. Если x переменная, то (x+1) будет иметь значения 2, 3, 4 — иными словами, 2 или больше.

⇧ 10. Совсем уж строго говоря, и это сомнительно, потому что аксиомы порождаются схемой, и их бесконечно много, поэтому все их проверить нельзя.

⇧ 11. Парадокс, обнаруженный Бертраном Расселом в теории множеств, популярно сформулирован в википедии (англ.) так. Введем признак «нормальности»: нормальное множество не является своим собственным подмножеством. Например, множество всех квадратов нормально, потому что оно само не есть квадрат. Его дополнительное множество, множество всех неквадратов, не нормально, потому что оно само не квадрат и, следовательно, должно включать и себя. Теперь возьмем множество всех нормальных множеств, и зададимся вопросом, нормально оно или нет? Это парадокс. Если мы предположим, что оно нормально, то оно входит само в себя, и, следовательно, не нормально. Если предположить, что оно не нормально, то его не будет среди всех нормальных множеств, и, значит, оно не подмножество себя — то есть, нормально. Противоречие возникает при любом предположении.

⇧ 12. Конструктивной в математическом смысле: требуется не только доказать существование алгоритма, доказывающего теоремы, но и отыскать сам этот алгоритм.

⇧ 13. Бета-код Геделя основан на взаимно-простых числах и формулируется сложнее, но делает дальнейшие доказательства более эффективными. Для наших качественных рассуждений, однако, конкретный способ кодирования не важен.

⇧ 14. Замечательное неформальное описание этого вывода дается в [1], глл. XIII и XIV, а формальный вывод в [2].

 1   2  3  4  5  6  7

I. Введение

Часто приходится слышать, будто бы некая «теорема Геделя» якобы доказывает, что процессы в сознании вообще и мышление в частности не могут быть алгоритмизированы и смоделированы на вычислительной машине. Многие пускаются в весьма пространные рассуждения, будто бы доказывающие это. Во всех этих рассуждениях непременно обнаруживается логический изъян. Несмотря на обилие таких рассуждений, безупречного доказательства того, что вычислительные формализмы не способны охватить когнитивные процессы, не существует. Не существует, однако, и доказательства обратного — что сознание описуемо формальной системой; к этому мы обратимся в самом конце.

Нам следует разобрать несколько «опровержений» вычислимости сознания и найти в них логические ошибки. Чтобы понять их, однако, вначале нам потребуется разобраться, что же такое теоремы Геделя, о чем говорят эта теоремы, и о том, насколько применим их объект к понятиям о реальном сознании.

Тема эта достаточно обширна, так что нам стоит разбить ее на цикл из нескольких статей, где бы мы могли остановиться на ключевых моментах подробнее. Надеюсь, что этот рассказ будет понятен всем, даже тем, кто далек от математики и когнитивистики. Мы не будем заниматься математикой, мы будем играть в кубики, и еще просто рассуждать. Мы же все умеем это с детства, так что даже ничего нового нам делать не придется. Если по ходу изложения у вас появятся вопросы или сомнения, понимаете ли вы предмет верно, обязательно спрашивайте; буду очень рад ответить возможно подробнее.

II. Библиография

Предмет, о котором мы будем говорить, много лучше и подробнее освещается в книгах; если вы хотите вникнуть в тему глубже, чем позволит короткая статья здесь, лучше обратиться к следующим работам. Вероятно, читать их имеет смысл именно в этом порядке, хотя многое зависит от подготовки и специальных знаний читателя.

1. Хофштадтер Д. Гедель, Эшер, Бах. Самара : Бахрах-М, 2001. Книга эта подобна фуге, где параллельные голоса создают гармонию смыслов. Одна из тем — рассказ о теоремах Геделя и неразрешимости.

2. Подниекс К. М. Вокруг теоремы Геделя. Рига : Зинатне, 1981. Это замечательное математическое введение в теоремы Геделя; там же вы найдете их доказательство, которое мы здесь разбирать не будем. О применимости их к сознанию, однако, в книге не говорится.

3. Franzén T. Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to its Use and Abuse. Wellesley, Mass. : AK Peters, 2005 (спасибо alexey_rom за ссылку). Книга написана несколько менее популярно, чем [1], и требует определенных математических знаний, но в ней разбираются и те вопросы, что мы разбираем сейчас.

III. Смертен ли Сократ?

Теоремой или теоремами Геделя обычно называют совокупность утверждений о неполноте арифметик, начало которым было положено Куртом Геделем в работе, опубликованной в 1931 г., а затем значительно усиленных другими математиками; в частности, более сильное утверждение, которое чаще всего сегодня и называют теоремой Геделя (в единственном числе) доказано Баркли Россером, учеником Алонцо Черча, в 1936 г.

Чтобы понять теорему Геделя, сначала следует разобраться в предмете, котором она говорит, а говорит она о формальных системах (ФС). ФС, как следует из их названия, имеют дело с формой. Понятие формы, отдельно рассматриваемой от сущности предмета, восходит к философии Аристотеля; он же и изобрел формализмы — силлогизмы:

Каждый человек смертен.
Сократ — человек.
Следовательно, Сократ смертен.

Силлогизм задает правила для операции над верными утверждениями для получения верных же утверждений. Правило построения силлогизма — формальное, лишенное содержания, в которое можно подставить любые, внешние по отношению к силлогизму утверждения:

Все P есть Q.
R есть P.
Следовательно, R есть Q.

Мотив разделения формы и смысла будет центральным в нашем повествовании. Обратите внимание еще раз: сам по себе формальный силлогизм никакого смысла не имеет: вывод «следовательно, R есть Q» совершенно бессмыслен, покуда R и Q не заменены на определенные высказывания. В то же время, смысл возникает при интерпретации формализма, но не в самом формализме. Мы, снаружи формализма, придаем высказываниям смысл. Мы говорим, что все люди смертны, и что Сократ есть человек. После этого мы берем Аристотелев формализм — как инструмент — и подставляем в него эти утверждения, и получаем вывод: Сократ смертен. Где возникает этот вывод? Следите сейчас очень внимательно: этот вывод не возникает в формализме, он возникает лишь при интерпретации результата исполнения формальной процедуры! Формализм лишь выдает предложение, строчку текста: «Сократ смертен». Однако, сами по себе понятия «Сократ» и «быть смертным» существуют лишь вне формализма, в сознании интерпретирующего.

Чтобы понять это, давайте проведем один очень опасный мысленный эксперимент: запустим вычислительную программу составления силлогизмов, и попытаемся получить с ее помощью пример Аристотеля.

Введите P: человек
Введите Q: смертен
Введите R: Сократ

В этот момент программа ненадолго зависает. Тут неожиданно мы с вами и со всем человечеством гибнем оттого, что на Землю приземляется корабль ужасно радиоактивных пришельцев. Огорченные пришельцы подходят к компьютеру, который как раз выдает последнюю строчку результата:

Сократ смертен

Радиоактивные пришельцы на самом деле обладают одним бессмертным «я» на всех, как Борг из «Звездного пути», но называют себя, по случайному совпадению, не Боргом, а Сократом. Верное на наш взгляд утверждение оказывается для них прямо ложным. Выходит, истинность утверждения зависит от этого самого взгляда. Формализм генератора верных утверждений из верных посылок сработал, но верного по смыслу утверждения не выдал — потому, что нет того, кто бы интерпретировал посылки и утверждение как истинное. Со сменой точки зрения и предпосылка «Сократ есть человек», и вывод «Сократ смертен» превращаются из истинных в ложные.

На этом закончим наш опасный мысленный эксперимент и оживем, но запомним, что смысла формальные системы не содержат и не производят, а затем немного поиграем в кубики.

IV. Кубики для взрослых

Построим простую ФС, которую будем называть «система ХИХИ»¹. Возьмем неограниченный запас кубиков или табличек с буквами Х, А, И. Хоть общее число кубиков неограниченно, но на них встречаются только три этих буквы. Множество { Х, А, И } называется лексическим множеством или алфавитом ФС. Алфавит системы должен быть, по правилам игры в кубики, конечным множеством.

Из кубиков можно составить строки ФС. Например, из наших кубиков можно сложить строки ХИХИХИ, ИАИА, ХХХХХХ и АХ. Эти строки будут лексически верными. Строка АГА, в то же время, не является лексически верной, потому что Г не входит в алфавит системы ХИХИ.

Кроме того, строки ФС должны быть синтаксически верными. Далее для краткости будем говорить просто верные строки, имея в виду, что они и синтаксически, и, как из того естественно следует, лексически верные. Верные строки определяются двумя способами, которые обычно используются вместе.

Во первых, зададим начальное подмножество верных строк извне, по нашему произволу ². Для нашей игры в кубики скажем, что строка ХИ верна³.

Во-вторых, введем несколько правил замены строк. Эти правила строго формальны — их легко исполнять не задумываясь, а задачу запрограммировать их на компьютере решит любой школьник на «пять». Важно помнить, что эти правила верны только для верных строк: из верной строки получается верная. К неверным, синтаксически или, еще страшнее того, лексически недопустимым строкам эти правила применять запрещается. Набор правил всегда конечный: «правила, порождающие правила» не разрешаются. Для нашей системы введем следующие правила⁴:

1. К любой строке, заканчивающейся на И, можно дописать в конец А. Пример: ХИХИ → ХИХИА.
2. Подстроку, следующую за Х {доб. до конца всей строки}, можно удвоить: ХИ → ХИИ, ХАХИ → ХАХИАХИ, ХАХИ → ХАХИИ.
3. Три И подряд можно заменить на А: ХИИИИ → ХИА, ХИИИИ → ХАИ.
4. Две А подряд можно выбросить: ИААХ → ИХ, ИАААИ → ИАИ.

Начиная с заданных верных строк и применяя правила вновь и вновь к каждому очередному результату, будем получать все больше и больше верных строк, например,

ХИ → ХИИ (правило 2),
ХИИ → ХИИИИ (опять 2),
ХИИИИ → ХАИ (3),
ХАИ → ХАИА (1),

и так далее. Все строки справа от стрелки получены применением формальных правил из верных строк, и, стало быть, верны по определению. Вы уже заметили, что в выборе правил есть произвол. К примеру, к строке ХАХИИИАААИИИ можно применить любое из четырех правил, причем все, кроме первого, еще и более чем одним способом. В этом нет ничего запрещенного, поскольку обычно нас интересует вопрос, является ли некая данная строка верной, то есть можно ли ее получить из других верных строк ФС, применяя любые из правил любым возможным способом.

Имеется счетное множество⁵ всех строк, которые порождаются ФС. Доказательство того, что это множество счетно, я опускаю, но запомним, что все верные строки, порождаемые ФС, можно пронумеровать натуральными числами. Этот результат нам будет важен.

Здесь нам следует еще раз вспомнить о том, что никакого смысла в верных строках ФС нет. ФС может служить инструментом для переработки смыслов, вкладываемых в строки извне системы, но она ни содержит, ни производит смысла. Слова, сложенные из кубиков, не имеют никакого особого значения: это только слова, сложенные из кубиков.

Перед тем, как мы перейдем к следующей части, попробуйте продолжить нашу игру в кубики. Требуется определить, является ли ХА верной строкой в системе ХИХИ. Либо в ее произведете по правилам 1—4 из других заведомо верных строк (в нашем случае из заведомо верной строки ХИ), либо докажете, что этого сделать невозможно. Решение — или, не огорчайтесь, даже попытка решения этой задачи сразу даст вам почувствовать, какие сложности возникают даже в таких простых ФС, как наша система ХИХИ.

 1   2  3  4  5  6  7
__________________________________
⇧ 1. Hofstadter 1999, p. 33.

⇧ 2. Это множество может быть конечным или даже бесконечным. Бесконечное множество может получаться из правила, например, в некоей системе, где Ы входит в алфавит, строки любой длины из Ы могут быть объявлены верными. Такие правила называются схемами.

⇧ 3. Не удивляйтесь, что мы обойдемся без обычных в описании ФС терминов «аксиома» и «теорема», которые скорее внесли бы в это популярное изложение путаницу, нежели ясность, отсылая читателя к омонимичным, но иным понятиям школьной математики.

⇧ 4. Те, кто интересуется формальными грамматиками, должны заметить, что правила представляют собой контекстно-зависимую грамматику. Не любая ФС обладает контекстно-свободной грамматикой (КСГ), потому что вычислительная мощность ФС та же, что и у машины Тьюринга и, следовательно, неизбежно превышает таковую стековой машины, выражающей КСГ.

⇧ 5. Счетное множество возможно бесконечно, но его элементы можно перенумеровать натуральными числами — разумеется, применяя определенное правило. К примеру, множество целых чисел счетно, а нумеровать их можно так: у числа 0 будет номер 1, у 1 номер 2, у −1 номер 3, у 2 номер 4, и так далее: у положительных четные номера, у соответствующих отрицательных нечетные на единицу больше.

Кантор доказал, что множество рациональных дробей, то есть чисел вида p/q, где p и q натуральные числа, тоже счетно, придумав элегантный способ пронумеровать их. Этот способ называется «диагональным аргументом». Попробуйте и вы придумать такой способ. Счетность множества верных строк тоже доказывается диагональным аргументом.

Студенты отделения машинного обучения университета Карнеги и Меллонов (CMU) вышли на демонстрацию протеста:



«Свободу переменным!»
«Байезианцы против дискриминации!». Лучший лозунг, по-моему.
«Запретить генетические алгоритмы!»
«Отменить экспоненциальный закон!»
«Опору — векторам!»

Объяснение непереведенного:

map reduce, map reuse, map recycle: “reduce, reuse, recycle” — лозунг за экономию сырья, призыв сокращать потребление, повторно использовать и сдавать во вторичную переработку. Отсылка здесь на отображение (map) и свертку (reduce), операции функционального программирования.

End duality gap: отсылка на лозунг End inequality gap, требующий сужения «вилки доходов».

Все фотографии демонстрации здесь.

Via shamebear.

Я не знаю ответа — это не загадка.

Представьте себе, что вы осесимметричное существо. Ось симметрии вашего тела расположена при ходьбе вертикально. Ваши ноги позволяют вам перемещаться одинаково легко в любом направлении на плоскости — идти «вперед» и «вбок» вам одинаково легко. Кроме того, у вас несколько глаз, расположенных на голове по кругу так, что вы видите всю круговую панораму одинаково хорошо.

Вряд ли у вас есть понятие направления «вперед» — если вы стоите, вы видите одинаково во всех направлениях, и можете пойти в любом направлении без необходимости поворота тела. А будут ли у вас понятия «слева» и «справа»? Если нет, то какие будут?

Что такое разум? Как, встретив где нибудь во Вселенной (или даже у себя дома, на Земле) чужой разум, мы скажем — да, это разум? Как можно с ним «поговорить»? И нужно ли говорить, чтобы распознать разум? Хочу показать, что вопросы эти не имеют ответов: любая попытка установить стратегию всегда оставит лазейку для честного скептика.

Порассуждаем, как должен проявить себя разум. ( Сон инженера о пандах… )

Хочу извиниться за недельное неписание вкупе с неотвечанием. Знаете анекдот про человека, устроившегося работать в пожарную команду, который был всем доволен: и делать ничего не надо, и коллеги хорошие, и работать сутки через трое, и только одно плохо: как пожар, так хоть увольняйся? У меня началось затяжное пожаротушение. Еще неделю или две писать буду только по выходным, да и отвечать на неделе не обещаю, хотя очень постараюсь.

Итак, речь пойдет о дятлах с точки зрения онтологии, то есть знаний простого человека-не дятлолога о дятлах. Наверное, всем известна эта пародия Е. Шестакова на энциклопедическую статью о дятлах. Но шутки шутками, а каковы же наши настоящие знания о дятлах? Запрос в довольно большую онтологическую базу данных выглядит так: «Скажи мне, какие обобщения обобщают обобщение „дятел“?» Нет, вернее так: «Для каких X, X есть обобщение категории „дятел“?». Вы все еще читаете? Спасибо. На самом деле, он выглядел так, в переводе на русский: (оббщн #Дятел ?X).

Ответ был таков: каждый дятел, в силу принадлежности к категории «дятел», непременно обладает 87 признаками, ни больше и не меньше. Один из них — он дятел. Остальные перечислять не буду, это скучно (животное, птица, яйцекладущий, дышащий воздухом и т.д.), а приведу только выборочно самые неожиданные:

• дятел обладает плоскостью зеркальной симметрии (состоит «из двух половинок»);
• дятел — ощутимо-неощутимый объект (ощупывание дятла не даст полной информации о нем. Да уж…);
• дятел непрозрачен;
• дятел ограничен и локализован в пространстве, и непрерывен в пространстве и времени.
• дятел гексалатерален: у дятла есть передняя, верхняя и прочие стороны, всего числом шесть;
• дятел является многомерным объектом;
• дятлы существуют;
• каждый дятел индивидуален. (Двух дятлов всегда можно различить. Нитрокраской пользоваться разрешается);
• дятел перемещается по непрерывной траектории и характеризуется местоположением;
• дятел обладает границей и территорией, и является местностью. (Это, если подумать, так. На дятле могут происходить события. Блохи могут жить, например).
• дятел гомеотермален. Речь, напомню, идет о живом дятле, а не обыкновенном;
• дятел — гомотроф. В отличие от автотрофов, питающихся неорганикой, гомотрофы питаются автотрофами и другими гомотрофами. Вот так и живем…
• дятел содержит в себе. (Буквально: дятел является обобщенным плохо специфицированным контейнером).

Общение с роботом-онтологом просветляет. Начинаешь лучше понимать, какую огромную базу данных человеки собирают и таскают на себе. Спрошу у него при случае, что такое Дао. Наверняка ведь знает!