![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
1
2
3
4
5
6
7
XI. Математические последствия
Хорошо или плохо для математики открытие Геделя? С одной стороны, надежды математиков на самообоснованность математики, на существование единственной верной математической системы, которую можно «открывать», но не «выдумывать», испарились. Можно подумать, что это плохо. С другой же стороны, оказалось, что математика не сводится к механической процедуре доказательств, что в математике всегда останется место для нового не автоматизированного творчества. Проще говоря — математика не заканчивается, как она бы завершилась с изобретением полностью механизированной математической системы. Математики без работы не останутся, и их, в отличие от рабочих на сборочном конвейере, не заменят роботы. И это как будто бы хорошо.
Диалектическую сущность открытия Геделя хорошо сформулировал К. Подниекс в [2]:
Всякая формальная теория с методологической точки зрения является моделью некоторой застывшей системы мышления. С учетом этого основной вывод из теоремы о неполноте можно переформулировать так: всякая достаточно всеобъемлющая, но застывшая система мышления неизбежно оказывается несовершенной — в ней содержатся либо противоречия, либо проблемы, для решения которых данной (застывшей!) системы недостаточно. Именно в строгом доказательстве принципиального несовершенства всякой застывшей системы мышления состоит подлинный диалектический смысл достижений Геделя.
Итак, с философской точки зрения, теорема Геделя радикально поменяла математические воззрения на основания математики.Математика не может быть одновременно полной и непротиворечивой. Противоречие — много худший дефект теории, чем неполнота: она сводит на нет всю доказательную силу теории. Поэтому математика, какой мы ее разрабатываем, не должна быть противоречивой. Если мы придем к противоречию, нам придется отступить на несколько шагов назад, чтобы изъять из системы те положения, аксиомы, которые к этому противоречию привели. Наша непротиворечивая математика всегда будет неполной. Но каковы же практические — то есть, важные для ежедневной математической работы — последствия этой неполноты?
По всей видимости, они невелики. В некоторых областях математики, наиболее абстрактных, например, теории категорий, они более ощутимы, и на них необходимо оглядываться; в других же геделевы утверждения являются сами по себе предметом математического поиска. Они достаточно редки, и их обнаружение само по себе является достижением. Например, относительно недавно было доказано, что теорема Гудстайна является геделевым утверждением арифметики, и не может быть в ней доказана. Гудстайн описывает особую манипуляцию над числами; утверждение его состоит в том, что, с какого бы числа мы ни начали, повторяя алгоритм конечное число раз, мы в конце концов получим в результате ноль. Хоть эти действия можно проделать в ЭА для наперед взятого числа, доказательство того, что так будет для любого, лежит за пределами ЭА.
Кроме того, в математике имеется определенное число подобных «наблюдательных» предположений. В некотором смысле, это сближает математику с естественными науками: мы делаем наблюдения над поведением математических объектов, затем строим гипотезы, пытаемся построить теории, подвести солидные доказательства под эти гипотезы — и это не всегда получается. С другой стороны, это подкрепляет, в определенном смысле, платонистический-пифагорейский подход к математике. Математика, какой мы ее придумали, существует и ведет себя как объект, поведения которого мы не понимаем до конца, и открываем его свойства — хоть это сложное поведение и задано простыми правилами, которые следуют из еще более простых, установленных произвольно.
Часто бывает, что математика отставляет недоказанность некоторых утверждений в сторону, и развивается, будто они были доказаны. Так же ведут себя и естественные науки. Все, что мы знаем в физике, так же «доказано» наблюдениями и сведением их в теории. В физике нет аксиом, есть только наблюдения. Математика, разумеется, предпочитает аксиомы, но в некоторых случаях и принимает — предварительно, в силу своей строгости — недоказанные утверждения, от которых можно отталкиваться и двигаться вперед.
В число таких недоказанных утверждений входят не только «курьезы» — интересные теоремы, из утверждений которых не делается никаких дальнейших выводов, к каким, например, относится Великая теорема Ферма, доказанная всего несколько лет назад. Существуют гораздо более «серьезные» теоремы, с помощью которых математики доказывают новые теоремы. В их число входит гипотеза Римана.
Гипотеза Римана говорит о значениях нулей комплексной дзета-функции Римана. Разъяснение этой гипотезы лежит далеко за пределами нашего повествования, но нам, безусловно, интересно, что происходит в математике вокруг нее. Доказательства этой гипотезы не найдено уже 150 лет. Говорят, будто, когда у Гильберта спросили, что он сделает, если заснет и проснется через 500 лет, он ответил, что первый вопрос, который он задаст, будет о том, была ли доказана гипотеза Римана. Дело в том, что гипотеза Римана используется во многих доказательствах, как если бы это была доказанная теорема. В этом ее отличие от теоремы Ферма, которая была и остается просто интересным фактом о числах, но не используется в доказательствах так широко. Институт Клэя назначил приз в 1 миллион долларов США за доказательство Римановой гипотезы, потому что ее доказательство чрезвычайно важно для арифметики, в частности, в области факторизации чисел на простые сомножители. Выходит, что и криптостойкость современных шифров зависит от верности предположения Римана, и, таким образом, она оказывает влияние на материальный мир через ежедневные компьютерные операции в нем.
Гипотеза эта доказана для некоторых частных случаев, и, кроме того, разумеется, производились масштабные компьютерные проверки ее истинности. Проверено огромное число (около 10 триллионов!) нулей дзета-функции, и все их значения соответствуют утверждению гипотезы. Общее же число этих нулей бесконечно велико, поэтому полная компьютерная их проверка невозможна. Требуется доказательство, но его нет.
Что будет с математикой, если выяснится, что гипотезу Римана нельзя доказать в существующих даже самых сильнх, самых внешних математических теориях? Конечно, можно сделать ее утверждение аксиомой, просто объявить, что, раз она недоказуема, то мы будем полагать ее истинной по положению. Но, кроме этого, возможен и другой путь. Мы могли бы объявить гипотезу ложной, и считать ее ложность аксиомой15. В принципе, это не вызвало бы в математике противоречий, но, тем не менее, такое положение шло бы вразрез с уже накопленным математическим знанием. Здесь опять проявляется некоторое сходство математики и естественных наук — сходство, возникающее от того, что думают над теориями в этих науках люди, пользуясь родственными мыслительными системами. Мы наблюдаем, что гипотеза Римана верна для огромного количества случаев, и предполагаем — очень уверенно предполагаем! — что она верна всегда в построенной нами системе математики. Поэтому, если нам случится полагать ее аксиомой, расширяющей эту систему, то естественным будет положить аксиомой ее утверждение, а не его отрицание.
Отвлечение наше на гипотезу Римана было не случайным. На этом примере будет интересно рассмотреть положения о том, что сознанию человека будто бы доступна «истина», не достижимая вычислительным алгоритмом.
1 2 3 4 5 6 7
__________________________________
⇧ 15. Например, так: существует хотя бы один нетривиальный нуль дзета-функции, вещественная часть которого отлична от 1/2.
XI. Математические последствия
Хорошо или плохо для математики открытие Геделя? С одной стороны, надежды математиков на самообоснованность математики, на существование единственной верной математической системы, которую можно «открывать», но не «выдумывать», испарились. Можно подумать, что это плохо. С другой же стороны, оказалось, что математика не сводится к механической процедуре доказательств, что в математике всегда останется место для нового не автоматизированного творчества. Проще говоря — математика не заканчивается, как она бы завершилась с изобретением полностью механизированной математической системы. Математики без работы не останутся, и их, в отличие от рабочих на сборочном конвейере, не заменят роботы. И это как будто бы хорошо.
Диалектическую сущность открытия Геделя хорошо сформулировал К. Подниекс в [2]:
Всякая формальная теория с методологической точки зрения является моделью некоторой застывшей системы мышления. С учетом этого основной вывод из теоремы о неполноте можно переформулировать так: всякая достаточно всеобъемлющая, но застывшая система мышления неизбежно оказывается несовершенной — в ней содержатся либо противоречия, либо проблемы, для решения которых данной (застывшей!) системы недостаточно. Именно в строгом доказательстве принципиального несовершенства всякой застывшей системы мышления состоит подлинный диалектический смысл достижений Геделя.
Итак, с философской точки зрения, теорема Геделя радикально поменяла математические воззрения на основания математики.Математика не может быть одновременно полной и непротиворечивой. Противоречие — много худший дефект теории, чем неполнота: она сводит на нет всю доказательную силу теории. Поэтому математика, какой мы ее разрабатываем, не должна быть противоречивой. Если мы придем к противоречию, нам придется отступить на несколько шагов назад, чтобы изъять из системы те положения, аксиомы, которые к этому противоречию привели. Наша непротиворечивая математика всегда будет неполной. Но каковы же практические — то есть, важные для ежедневной математической работы — последствия этой неполноты?
По всей видимости, они невелики. В некоторых областях математики, наиболее абстрактных, например, теории категорий, они более ощутимы, и на них необходимо оглядываться; в других же геделевы утверждения являются сами по себе предметом математического поиска. Они достаточно редки, и их обнаружение само по себе является достижением. Например, относительно недавно было доказано, что теорема Гудстайна является геделевым утверждением арифметики, и не может быть в ней доказана. Гудстайн описывает особую манипуляцию над числами; утверждение его состоит в том, что, с какого бы числа мы ни начали, повторяя алгоритм конечное число раз, мы в конце концов получим в результате ноль. Хоть эти действия можно проделать в ЭА для наперед взятого числа, доказательство того, что так будет для любого, лежит за пределами ЭА.
Кроме того, в математике имеется определенное число подобных «наблюдательных» предположений. В некотором смысле, это сближает математику с естественными науками: мы делаем наблюдения над поведением математических объектов, затем строим гипотезы, пытаемся построить теории, подвести солидные доказательства под эти гипотезы — и это не всегда получается. С другой стороны, это подкрепляет, в определенном смысле, платонистический-пифагорейский подход к математике. Математика, какой мы ее придумали, существует и ведет себя как объект, поведения которого мы не понимаем до конца, и открываем его свойства — хоть это сложное поведение и задано простыми правилами, которые следуют из еще более простых, установленных произвольно.
Часто бывает, что математика отставляет недоказанность некоторых утверждений в сторону, и развивается, будто они были доказаны. Так же ведут себя и естественные науки. Все, что мы знаем в физике, так же «доказано» наблюдениями и сведением их в теории. В физике нет аксиом, есть только наблюдения. Математика, разумеется, предпочитает аксиомы, но в некоторых случаях и принимает — предварительно, в силу своей строгости — недоказанные утверждения, от которых можно отталкиваться и двигаться вперед.
В число таких недоказанных утверждений входят не только «курьезы» — интересные теоремы, из утверждений которых не делается никаких дальнейших выводов, к каким, например, относится Великая теорема Ферма, доказанная всего несколько лет назад. Существуют гораздо более «серьезные» теоремы, с помощью которых математики доказывают новые теоремы. В их число входит гипотеза Римана.
Гипотеза Римана говорит о значениях нулей комплексной дзета-функции Римана. Разъяснение этой гипотезы лежит далеко за пределами нашего повествования, но нам, безусловно, интересно, что происходит в математике вокруг нее. Доказательства этой гипотезы не найдено уже 150 лет. Говорят, будто, когда у Гильберта спросили, что он сделает, если заснет и проснется через 500 лет, он ответил, что первый вопрос, который он задаст, будет о том, была ли доказана гипотеза Римана. Дело в том, что гипотеза Римана используется во многих доказательствах, как если бы это была доказанная теорема. В этом ее отличие от теоремы Ферма, которая была и остается просто интересным фактом о числах, но не используется в доказательствах так широко. Институт Клэя назначил приз в 1 миллион долларов США за доказательство Римановой гипотезы, потому что ее доказательство чрезвычайно важно для арифметики, в частности, в области факторизации чисел на простые сомножители. Выходит, что и криптостойкость современных шифров зависит от верности предположения Римана, и, таким образом, она оказывает влияние на материальный мир через ежедневные компьютерные операции в нем.
Гипотеза эта доказана для некоторых частных случаев, и, кроме того, разумеется, производились масштабные компьютерные проверки ее истинности. Проверено огромное число (около 10 триллионов!) нулей дзета-функции, и все их значения соответствуют утверждению гипотезы. Общее же число этих нулей бесконечно велико, поэтому полная компьютерная их проверка невозможна. Требуется доказательство, но его нет.
Что будет с математикой, если выяснится, что гипотезу Римана нельзя доказать в существующих даже самых сильнх, самых внешних математических теориях? Конечно, можно сделать ее утверждение аксиомой, просто объявить, что, раз она недоказуема, то мы будем полагать ее истинной по положению. Но, кроме этого, возможен и другой путь. Мы могли бы объявить гипотезу ложной, и считать ее ложность аксиомой15. В принципе, это не вызвало бы в математике противоречий, но, тем не менее, такое положение шло бы вразрез с уже накопленным математическим знанием. Здесь опять проявляется некоторое сходство математики и естественных наук — сходство, возникающее от того, что думают над теориями в этих науках люди, пользуясь родственными мыслительными системами. Мы наблюдаем, что гипотеза Римана верна для огромного количества случаев, и предполагаем — очень уверенно предполагаем! — что она верна всегда в построенной нами системе математики. Поэтому, если нам случится полагать ее аксиомой, расширяющей эту систему, то естественным будет положить аксиомой ее утверждение, а не его отрицание.
Отвлечение наше на гипотезу Римана было не случайным. На этом примере будет интересно рассмотреть положения о том, что сознанию человека будто бы доступна «истина», не достижимая вычислительным алгоритмом.
1 2 3 4 5 6 7
__________________________________
⇧ 15. Например, так: существует хотя бы один нетривиальный нуль дзета-функции, вещественная часть которого отлична от 1/2.
