Есть формальное объяснение, совершенно неудобоворимое, и есть “на пальцах” с лёгким обманом трудящихся. Итак, для каждого поля (скажем, поля фотонов или электронно-позитронного поля) существуют семейство операторов порождения и уничтожения. Физический смысл следующий: для всякой быстро-убывающей “волновой функции” (shape function, если быть более точным) фотона/электрона f существуют сопряжённые между собой линейные операторы A*(f) и A(f), действующие на пространстве состояний мира H. Первый из них “добавляет” в состояние поля дополнительную частицу с описанной “волновой функцией” (формой), второй “отбавляет” от поля соответствующее возмущение, если там есть чего отбавлять. (т.е. работает по принципу x match {succ(n) => n; 0 => 0}). Из этих двух сопряжённых семейств операторов A*, A: ParticleShapes => BoundedLinOperators(H) можно изготовить операторы, измеряющие значение напряженности поля в точке. Если взять семейство локализованных вокруг точки x форм f_i, сходящееся к дельта-распределению, то семейство операторов A*(f_i)A(f_i) будет сходиться к эрмитову оператору O(x) измеряющему напряжённость поля в этой точке. Алгебра (это выходит W*-алгебра), порождённая вот этими операторами A порождения и уничтожения для форм f локализованных в открытой области пространства U называется алгеброй полевых операторов ассоциированных с областью U. А если взять алгебру, порождённую операторами O, то это называется алгеброй наблюдаемых, ассоциированных с U (это выходит такая C*-алгебра, для которой первая описанная алгебра является двойным коммутантом).
Теперь про то, где я соврал: операторы A*(f) и A(f) являются линейными только для свободных теорий поля (т.е. таких, где поля между собой не взаимодействуют), т.к. во взаимодействующих теориях нельзя создать в чистом виде частицу одного поля вроде электрона без свиты из зиллинонов инфракрасных фотонов (электромагнитного поля, порождённого электроном). А вот алгебра наблюдаемых вполне существует, и существует её двойной коммутант — его и называют алгеброй полевых операторов. Физическая интерпретация этой алгебры в случае взаимодействующих полей — сложнейшая область матфизики, фактически сводящаяся к классификации всех возможных связных состояний теории. Т.е. например во взаимодействующей электромагнитной теории нет операторов порождения/уничтожения электронов в чистом виде, но есть операторы порождения/уничтожения атомов водорода, гелия и прочих связанных стабильных композитных частиц.
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
(no subject)
2013-02-03 19:32 (UTC)Теперь про то, где я соврал: операторы A*(f) и A(f) являются линейными только для свободных теорий поля (т.е. таких, где поля между собой не взаимодействуют), т.к. во взаимодействующих теориях нельзя создать в чистом виде частицу одного поля вроде электрона без свиты из зиллинонов инфракрасных фотонов (электромагнитного поля, порождённого электроном). А вот алгебра наблюдаемых вполне существует, и существует её двойной коммутант — его и называют алгеброй полевых операторов. Физическая интерпретация этой алгебры в случае взаимодействующих полей — сложнейшая область матфизики, фактически сводящаяся к классификации всех возможных связных состояний теории. Т.е. например во взаимодействующей электромагнитной теории нет операторов порождения/уничтожения электронов в чистом виде, но есть операторы порождения/уничтожения атомов водорода, гелия и прочих связанных стабильных композитных частиц.