Столкновения с бесконечностью

[fregimus]

Демон Максвелла садится за клавиатуру и нажимает клавиши: сначала А, через 1/2 секунды — Б, через 1/4 — опять А, через 1/8 — Б, через 1/16 — опять А, и так далее.

Сумма геометрической прогрессии 1/2+1/4+1/8+1/16+… = 1. Это значит, что демон Максвелла закончит нажимать клавиши через секунду. Вопрос: какую клавишу он нажмет последней, А или Б?

Это не будет ни А, ни Б. Демон нажмет клавиши бесконечное число раз, а значит, вопрос эквивалентен, например, вопросу о том, четное или нечетное самое последнее натуральное число. Вопрос лишен смысла, потому что последнего натурального числа нет. Интуиция отказывается принять этот ответ: ведь демон нажимал на кнопки всего секунду, а потом улетел. Ведь последней он все-таки нажал одну из них!

Если этот вопрос покажется слишком искусственным, вот вам второй. Рассмотрим функцию f(х) = cos х + cos πх. Эта функция ограничена интервалом [−2; +2], потому что каждое из слагаемых (в мирное, во всяком случае, время) ограничено [−1; +1]. Более того, у функции есть локальные максимумы и минимумы: «ямы», откуда нельзя упасть, а надо только выбираться — минимумы, а «пики», с которых можно падать вниз, а вверх забираться уже некуда — максимумы.

 

Вопрос: какой самый высокий из пиков и самая глубокая из ям? Самый высокий пик мы видим при х=0: значение функции равно 2, а больше оно быть не может. А какой самый глубокий минимум?

Минимум одного из слагаемых, функции cos х достигается при значениях х=π(2n+1), где n любое целое число, то есть при значениях аргумента …−3π, −π, π, 3π, 5π… Все эти минимумы достигают ровно −1. Минимумы второго слагаемого, функции cos πх тоже равны −1, только достигаются они при значениях аргумента х, равных х=2m+1, где m целое, то есть …−3, −1, 1, 3, 5… Чтобы получилось …−2, нужно, чтобы оба минимума точно совпали.

Вот только точно они никогда не совпадут. Если мы предположим, что для каких-то m и n π(2n+1)=2m+1, то тогда получится что π=(2m+1)/(2n+1), то есть равно дроби, отношению двух целых чисел. Такие числа называются рациональными. Но мы-то знаем, что π — иррациональное число, так что этого не может быть. Значит, пики это никогда и не совпадут.

 

Давайте посмотрим, как приближается к −2 наша функция в некоторых точках. Вот на этом графике, около х=3, разве не равна эта функция −2? Нет, точное вычисление дает f(х)= −1.990909 при х=3.012997. Еще две самых низких точки «ям» около х=41 и х=47 имеют точные значения f(х)= −1.988498 при х=40.98539 и f(х)=−1.993038 при х=47.01138. Нет, все-таки она не достигает −2 — можно сказать, что чуть-чуть, но в математике и «чуть-чуть» бывает очень много!

А насколько близко они могут совпасть? Тут мы получаем интересный ответ: как угодно близко. Это означает, что для любой «ямы» которая не достигает глобального минимума −2 на любое сколь угодно малое положительное число ε, найдется яма, которая будет еще глубже (а, значит, и бесконечно много таких ям — для каждой из них найдется еще, чуть глубже нее, и так далее). Отсюда следует, что мы можем находить все более и более глубокие минимумы, достигая в пределе глубины −2. Получается, что глобальный минимум нашей функции равен −2.

А при каком значении аргумента х достигается этот минимум? А вот на этот вопрос ответ тот же, что и на первый: нет такого значения. Как же так: минимальное значение функции есть, значит, и аргумент при этом какой-то? Увы, нет. Можно найти несколько значений, при котором функция будет сколь угодно близка, но все-таки отличаться от −2. А вот чтобы добралась до него — нет, такого значения мы не найдем. Но если перебирать бесконечно много минимумов одного слагаемого (а они «всего-навсего» счетно-бесконечны), вот тогда последний из них…

Эти же рассуждения верны и для любого другого иррационального множителя при аргументе одного из косинусов. Это не обязательно π: подойдет и е, и √2  — рассуждения не изменятся от этого. Глобальный минимум по-прежнему будет равен −2, а найдем мы его… нигде не найдем!

Злые шутки играет с интуицией бесконечность, правда?