![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
fregimus
1
2
3
4
5
6
7
XIV. Мышление математика
Рассмотрим теперь второй вопрос, в рассуждениях о котором часто упоминают ТГ, и где это упоминание часто кажется, хотя бы на первый взгляд, уместным. Речь идет об отношении математики и сознания работающего человека-математика. Встречается такая точка зрения, что математическому уму некоторые математические факты доступны как истинные непосредственно, минуя доказательство — в виде интуитивных «откровений». В числе аргументов за эту точку зрения часто выдвигают как теоремы Геделя о неполноте, так и невычислимость в смысле Черча-Тьюринга. Среди них часто повторяются аргументы Дж. Лукаса и Р. Пенроуза. Подробный анализ этих рассуждений имеется в книге [3], главы 2 и 6; здесь мы рассмотрим два примера.
Рассуждение Лукаса (Lucas 1961, цит. по [3]) будто бы доказывает, что человеческий ум превосходит любую машину:
Несколько более сложный аргумент приводит Пенроуз, например, в «Тенях разума»; в сжатой форме можно прочитать его в статье в электронном журнале «Психея»18:
Это, весьма «солидное» на первый взгляд, рассуждение содержит на самом деле несколько логических неточностей, которые, будучи внимательно учтенными, приведут нас к несколько иному выводу. Неявное предположение, сделанное Пенроузом, таково, будто «несомненно верные» рассуждения и в самом деле верные, то есть человеческая сиситема математических рассуждений непротиворечива, и, кроме того, «несомненно верно», что эта система непротиворечива. Такое предположение принимать бездоказательно не следует; попытаемся «спасти положение» следующим рассуждением: «Пусть я есть F (в том же смысле, что и в рассуждении Пенроуза), такая, что F включает в себя и знание о том, что F непротиворечива. Следовательно (2-я ТГ), F противоречива».
Опять же, очевидный вывод, напрашивающийся из этого рассуждения, состоит будто бы в том, что человеческая сиситема рассуждений не может быть заключена ни в какой непротиворечивой ФС F. Но не будем торопиться, потому что логически справедливый вывод, который следует сделать из полученного противоречия, такой: (1) человеческая система рассуждений невыразима никакой ФС или (2) она не включает в себя знания о том, что она непротиворечива (или и то, и другое верно). Утверждение (1) совместимо с рассуждением Пенроуза, но (2), однако, ему противоречит. Сам Пенроуз неоднократно отвергает (2) мировоззренчески: неверие в совершенную правильность системы своих собственных несомненных убеждений он считает неразумным.
Но так ли это неразумно — знать, что в системе собственных убеждений обязательно должна присутствовать неполнота? Д. Маккаллох20 приводит весьма любопытное рассуждение, которое выявляет такую неполноту.
Определим F(k) таким образом: «если k есть числовое значение строки21, несомненно задающей функцию G(n), определенную для всех целых n, то значение F(k)=G(k)+1. В противном случае F(k)=0». Предположим, что строка между кавычками несомненно задает функцию, определенную для целых чисел, именно саму F(k). Обозначим код этой строки через N. Тогда F(N)=F(N)+1, а это невозможно. Следовательно, от противного доказано, что строка в кавычках не определяет F(k) несомненным образом, и F(N)=0. Противоречие тем самым снимается, но вывод, однако, кажется неправдоподобным: ведь мы описали функцию F(k) несомненно точно для любых значений k! Разрешение этого кажущегося неправдоподобия как раз и состоит в различении несомненной, интуитивно воспринимаемой истинности и логической истинности, следующей из правил рассуждения. Система правил, вполне интуитивно верных, вдруг начинает вести себя самым неинтуитивным образом. Таковы правила математики — соблюдая их, мы вынуждены принимать технически верный вывод, каким бы он ни казался невероятным. Сам результат Геделя — еще более сильный пример того, насколько может логически верный вывод противоречить интуиции: вспомним, как уверены были математики в том, что программа Гильберта близится к успеху, когда Гедель своим доказательством нанес ей смертельный удар22.
Совершенно естественно, что для математиков, как сообщества, такая склонность человека к «интеллектуальным иллюзиям» интуитивно ясна, и собственные убеждения, как бы сильны они ни были, не служат основанием для признания некоего утверждения истинным. Например, абсолютное большинство математиков убеждено в том, что предположение Гольдбаха верно. Вы обнаружите спектр убеждений от оптимистического «конечно, верно» до осторожного «видимо, верно, но все-таки не доказано»; редко кто скажет, с различной степенью уверенности, будто она неверна. Однако, если кто-нибудь предложит в качестве «доказательства» утверждение о том, что предположение Гольдбаха верно, потому что оно несомненно истинно, такое доказательство принято математическим сообществом не будет: даже если редактор и рецензенты и сами уверены в том, что гипотеза верна, доказательство они все-таки, наперекор интуиции, потребуют.
Каким же именно путем неполнота проникает в логику, в систему рассуждений? Конструируя верные утверждения на основании справедливых правил их вывода, мы неизбежно придем к неполной системе. Казалось бы, ничего не стоит перейти к большей теории, аксиоматизируя ее собственные Геделевы утверждения, а повторять эту процедуру можно сколько угодно. Однако здесь мы опять упираемся в ту же самую «несомненную» истинность этих утверждений. Иногда их истинность не вызывает вопросов, иногда же, как в примере Маккаллоха, эта самая «несомненность» может сыграть с нами злую шутку. Расширяя теорию, мы каждый раз добавляем к ней утверждения, «несомненно» истинные — а, как мы только что увидели, «несомненная» истинность недостаточно для этого сильна, а порой может быть и вовсе иллюзорной.
Когда мы переходим ко все более и более сильным и сложным теориям, мы неизбежно оказываемся на границах познанного, за пределами хорошо известной математики — того, что описано в учебниках, в статьях и монографиях. Покидая эту твердую почву, мы непременно оказываемся там, где расширение теории всегда будет сначала неуверенным предположением, интуитивным ходом мысли, а не механическим действием. Но не следует понимать это как некое обязательное превосходство человеческого ума над вычислительной процедурой, ведь утверждения на этом пути все более и более предположительны, а человеческие ошибки неизбежны. Можно ли построить алгоритм, делающий предположения? Конечно, можно — мы найдем множество таких алгоритмов в любой самообучающейся системе — но это уже уведет нас далеко в сторону от строгого логического формализма и рассмотрения систем, где основным вопросом является неопровержимая логическая выводимость совершенно верных утверждений. Здесь мне только хотелось бы задержать внимание на том, что алгоритмы, роботы и компьютеры вовсе не обязательно действуют «в лоб», хотя такое заблуждение чрезвычайно распространено — а часто и эксплуатируется, например, тем же Р. Пенроузом и Дж. Серлом; вычислительные процедуры тоже умеют «сомневаться», неуверенно принимают решения, порой неправильные, и могут обучаться на ошибках. Разумеется, сходство с человеческим мышлением здесь чрезвычайно поверхностно: «сомнения» и «неуверенность» робота лишь результат нашего восприятия, невольного анимирования сложного процесса с наблюдаемым сложным поведением; на самом же деле, подо всем этим находятся развитые и интересные математические теории.
В конце концов, нам следует признать неполноту математического знания как свойство, ему присущее, а неявное предположение Пенроуза о непосредственной доступности математической «истины» сознанию отвергнуть: человеческая система математических знаний не может быть одновременно непротиворечивой и содержать утверждения о собственной непротиворечивости. Само собой, нам следует согласиться с ним в той части, где он говорит о невозможности формализовать знание в вычислительном устройстве — математическое знание неформализуемо до конца в принципе. Мысленный мир математики так же глубок и неисчерпаем, как и мир реальный.
XV. Практическая вычислимость
Мы уже видим, что значение невычислимости для практического построения моделей вряд ли заметно. Однако, до сих пор мы говорили только об арифметических моделях реальности. Здесь нам стоит несколько отойти от нашей главной темы, чтобы поразмышлять о различных видах вычислимости и невычислимости, и их влиянии на прикладные математические модели.
Любые вычисления, которые мы можем практически произвести, ограничиваются мощностью наших компьютеров, а они способны производить только целочисленные, арифметические вычисления. Конечно, можно представлять вещественные числа с любой, наперед заданной точностью, как целые; в вычислительных алгоритма мы можем работать с числами произвольной длины (или, что то же самое, точности, если говорить о вещественных числах), но, само собой, не можем вычислять бесконечные натуральные или неограниченно точные вещественные числа. Таким образом, перед нами встает очевидный вопрос: достаточно ли арифметики для (практического) моделирования природных процессов, включая сознание, на вычислительных машинах?
Возьмем обычную динамику Ньютона, которую проходят в школе. Уравнения Ньютона записываются в вещественных числах, например, в уравнении второго закона F=ma и сила F, и масса m могут принимать любые нецелые значения. Можно ли округлять эти вещественные числа до некоторой точности, так, чтобы представлять их целыми числами, и при этом получать приблизительно верное описание механических явлений? Безусловно да, и, более того, начиная с определенной выбранной точности, мы будем вынуждены включать в модель все больший и больший фрагмент реальности. Если мы хотим рассчитать падение камня на поверхность Луны — рассмотрим лунный пример, чтобы забыть о сопротивлении воздуха — с тремя значащими цифрами, нам будет достаточно записать уравнение закона всемирного тяготения для масс Луны и камня. Если мы захотим 10 значащих цифр, нам непременно придется учесть тяготение Земли. Для 20 знаков нам придется учесть Солнце и планеты, при 40 знаках важно уже тяготение звезд… Не говоря уже о том, что при такой точности границы Луны и камня тоже перестают быть очевидно определенными, и расстояние между центрами тяжести камня и Луны перестает быть понятно определимым, да и атмосфера на Луне все-таки имеется.
С какой точностью можно представить всю Вселенную в классических теориях? Наименьшее расстояния, которое вообще имеет смысл физически — планковская длина, 10−35 м. Физика пока не описывает явлений, происходящих в меньших масштабах. Верхняя оценка размера Вселенной составляет 180 миллиардов световых лет, число порядка 1027 м. Получается, что достаточно «всего лишь» 62 десятичных знаков, чтобы выразить размер Вселенной целым числом планковских длин.
Таким образом, целочисленных вычислений достаточно для сегодняшних физических моделей мира. Но насколько хороши эти модели для описания такого устройства, как нервная система? Важны ли те самые процессы, происходящие на длинах меньше планковской, о которых мы еще ничего не знаем? По всей видимости, ответ на этот вопрос отрицательный. Явлений в нейронах, для описания которых необходимо было бы привлекать даже квантовую механику, на сегодняшний день не обнаружено23. Время от времени «квантово-нейронные» гипотезы возникают, однако, никакого экспериментального основания под ними никогда не было. Если даже такие явления и будут открыты, фундаментального переворота в понимании функционирования нервной системы они, скорее всего, не вызовут.
Процессы, происходящие в нервной системе, в основном хаотические. Как хорошо известно, в моделировании таких процессов малые причины вызывают большие последствия. Насколько важна здесь ограниченная точность наших модельных средств? Не вдаваясь в количественные оценки, мы можем ограничиться здесь простым качественным рассуждением: 35 знаков достаточно для выражения размера самого длинного нейрона в планковских длинах. Дальше этой границы лежит неопределенность, где, если модель разойдется с реальностью, то не по причине хаотической расходимости, а по причине более фундаментальной, физической. Таки образом, этот вопрос сводится к предыдущему, и специфического ограничения целочисленное моделирование здесь не вносит.
Суммируя вышесказанное, «арифметичность» вычислительных машин не накладывает существенных ограничений на физические вычислительные модели.
Наихудшее практическое ограничение вычислительных машин происходит от их существования во времени и потребности в энергии — свойствах, неважных для их идеального математического прототипа, машины Тьюринга. Существует большое множество вычислительных задач, где объем вычислений, необходимых для расчета модели, растет экспоненциально с ее размером. Хотя развитие вычислительной техники и позволяет решать многие из подобных задач, которые еще несколько лет назад полагались неразрешимыми на практике именно из-за громадного необходимого объема вычислений, но, например, о моделировании взаимодействия всего лишь нескольких нейронов на уровне составляющих их молекул не может идти и речи — ни сегодня, ни в обозримом будущем.
Но и здесь полагаться на одну лишь «дурную силу» компьютера будет ошибкой. Хотя иногда подобные модели и ценны, но все же они не заменяют собой понимания явлений. Именно этого понимания нам так не хватает в анализе сложных систем с хаотической динамикой, к которым относится и сознание. Здесь стоит вспомнить слова замечательного математика Жака Адамара: «Любое математическое рассуждение, каким бы оно ни было сложным, должно представляться мне в виде единой сущности. Покуда мне не удается схватить его как одну глобальную идею, я не чувствую настоящего понимания» (Hadamard 1954). Хотя прикладные, вычислительные модели нервных процессов достаточно точны, фундаментальная математика сложности только начинает появляться. Так же как Ньютонова динамика потребовала дифференциального анализа, как общая теория относительности Эйнштейна подстегнула развитие тензорного исчисления, так и потребность в понимании сложных природных процессов, к которым относится и сознание, несомненно придает импульс разработке новых фундаментальных математических теорий — этого тончайшего инструмента настоящего понимания.
1 2 3 4 5 6 7
__________________________________
⇧ 18. R. Penrose. Beyond the Doubting of a Shadow. Psyche, 2(23), January 1996; 3.2.
⇧ 19. Sound.
⇧ 20. D. McCullough. Can Humans Escape Gödel? Psyche 2(4), April 1995
⇧ 21. Любую строку можно отобразить на натуральное число: например, закодировать ее в виде последовательности байт в произвольной однозначной символьной кодировке.
⇧ 22. Здесь интересно задуматься о том, насколько человеческий аппарат восприятия подвержен иллюзиям, например, зрительным. Символическое сознание возникло не на голом месте — это эволюционно относительно недавнее приобретение. Механизмы мышления работают в том же самом физическом субстрате мозга, что эволюционировал сотни миллионов лет, развиваясь под давлением совершенно иных, нежели необходимость поразмыслить, факторов. К примеру, язык, основа символического мышления, развился адаптацией коммуникационных систем животного мира (Deacon 1997; Lieberman 2002). Имеют ли «интеллектуальные иллюзии» ту же природу, что и сенсорные? Это один из открытых и чрезвычайно интересный вопрос нейрокогнитивной науки.
⇧ 23. Единственное неклассическое явление, которое должно учитываться — поглощение фотона в рецепторе сетчатки. См также: S. Klein. Is Quantum Mechanics Relevant To Understanding Consciousness? Psyche 2(4), April 1995.
XIV. Мышление математика
Рассмотрим теперь второй вопрос, в рассуждениях о котором часто упоминают ТГ, и где это упоминание часто кажется, хотя бы на первый взгляд, уместным. Речь идет об отношении математики и сознания работающего человека-математика. Встречается такая точка зрения, что математическому уму некоторые математические факты доступны как истинные непосредственно, минуя доказательство — в виде интуитивных «откровений». В числе аргументов за эту точку зрения часто выдвигают как теоремы Геделя о неполноте, так и невычислимость в смысле Черча-Тьюринга. Среди них часто повторяются аргументы Дж. Лукаса и Р. Пенроуза. Подробный анализ этих рассуждений имеется в книге [3], главы 2 и 6; здесь мы рассмотрим два примера.
Рассуждение Лукаса (Lucas 1961, цит. по [3]) будто бы доказывает, что человеческий ум превосходит любую машину:
Какую бы сложную машину мы ни построили, будучи машиной, она будет соответствовать некоей формальной системе, а та, в свою очередь, ограничена Геделевой процедурой, определяющей утверждение, невыводимое в данной системе. Машина не сможет вывести доказательство этого утверждения, тогда как человеческому уму видно, что оно истинно.Ошибка в этом рассуждении происходит, скорее всего, из непонимания вывода Геделя. Мы знаем, что Геделево утверждение истинно, покуда верим, что арифметика непротиворечива. Истинность его формально следует из непротиворечивости арифметики, но никакого подтверждения непротиворечивости арифметики у нас нет!
Несколько более сложный аргумент приводит Пенроуз, например, в «Тенях разума»; в сжатой форме можно прочитать его в статье в электронном журнале «Психея»18:
Пусть все без исключения методы несомненно верных математических рассуждений, в принципе доступных человеку, могут быть выражены в формальной системе F. Математик, рассматривая F, может рассуждать следующим образом (полагая, что фраза «я есть F» попросту обозначает «F заключает в себе все доступные человеку методы математического доказательства»):Из этого делается вывод, что совокупность несомненно верных математических рассуждений, доступных человеку, не может быть выражена никакой формальной системой, или, следуя тезису Черча-Тьюринга, никакой компьютерной программой.
«Предположим, что я есть F. Тогда F будет верной19, и кроме того, если мы рассмотрим систему F', представляющую собой F, дополненную утверждением „я есть F“, то она тоже будет верной. В таком случае, Геделeво утверждение G(F') будет истинным, и, кроме того, невыводимым в F'. Следовательно, если я есть F, то я воспринимаю истинность G(F'), то есть утверждения, лежащего за пределами доказательной силы F. Следовательно, то, что я есть F, неверно для любой достаточно мощной „геделизируемой“ формальной системы F».
Это, весьма «солидное» на первый взгляд, рассуждение содержит на самом деле несколько логических неточностей, которые, будучи внимательно учтенными, приведут нас к несколько иному выводу. Неявное предположение, сделанное Пенроузом, таково, будто «несомненно верные» рассуждения и в самом деле верные, то есть человеческая сиситема математических рассуждений непротиворечива, и, кроме того, «несомненно верно», что эта система непротиворечива. Такое предположение принимать бездоказательно не следует; попытаемся «спасти положение» следующим рассуждением: «Пусть я есть F (в том же смысле, что и в рассуждении Пенроуза), такая, что F включает в себя и знание о том, что F непротиворечива. Следовательно (2-я ТГ), F противоречива».
Опять же, очевидный вывод, напрашивающийся из этого рассуждения, состоит будто бы в том, что человеческая сиситема рассуждений не может быть заключена ни в какой непротиворечивой ФС F. Но не будем торопиться, потому что логически справедливый вывод, который следует сделать из полученного противоречия, такой: (1) человеческая система рассуждений невыразима никакой ФС или (2) она не включает в себя знания о том, что она непротиворечива (или и то, и другое верно). Утверждение (1) совместимо с рассуждением Пенроуза, но (2), однако, ему противоречит. Сам Пенроуз неоднократно отвергает (2) мировоззренчески: неверие в совершенную правильность системы своих собственных несомненных убеждений он считает неразумным.
Но так ли это неразумно — знать, что в системе собственных убеждений обязательно должна присутствовать неполнота? Д. Маккаллох20 приводит весьма любопытное рассуждение, которое выявляет такую неполноту.
Определим F(k) таким образом: «если k есть числовое значение строки21, несомненно задающей функцию G(n), определенную для всех целых n, то значение F(k)=G(k)+1. В противном случае F(k)=0». Предположим, что строка между кавычками несомненно задает функцию, определенную для целых чисел, именно саму F(k). Обозначим код этой строки через N. Тогда F(N)=F(N)+1, а это невозможно. Следовательно, от противного доказано, что строка в кавычках не определяет F(k) несомненным образом, и F(N)=0. Противоречие тем самым снимается, но вывод, однако, кажется неправдоподобным: ведь мы описали функцию F(k) несомненно точно для любых значений k! Разрешение этого кажущегося неправдоподобия как раз и состоит в различении несомненной, интуитивно воспринимаемой истинности и логической истинности, следующей из правил рассуждения. Система правил, вполне интуитивно верных, вдруг начинает вести себя самым неинтуитивным образом. Таковы правила математики — соблюдая их, мы вынуждены принимать технически верный вывод, каким бы он ни казался невероятным. Сам результат Геделя — еще более сильный пример того, насколько может логически верный вывод противоречить интуиции: вспомним, как уверены были математики в том, что программа Гильберта близится к успеху, когда Гедель своим доказательством нанес ей смертельный удар22.
Совершенно естественно, что для математиков, как сообщества, такая склонность человека к «интеллектуальным иллюзиям» интуитивно ясна, и собственные убеждения, как бы сильны они ни были, не служат основанием для признания некоего утверждения истинным. Например, абсолютное большинство математиков убеждено в том, что предположение Гольдбаха верно. Вы обнаружите спектр убеждений от оптимистического «конечно, верно» до осторожного «видимо, верно, но все-таки не доказано»; редко кто скажет, с различной степенью уверенности, будто она неверна. Однако, если кто-нибудь предложит в качестве «доказательства» утверждение о том, что предположение Гольдбаха верно, потому что оно несомненно истинно, такое доказательство принято математическим сообществом не будет: даже если редактор и рецензенты и сами уверены в том, что гипотеза верна, доказательство они все-таки, наперекор интуиции, потребуют.
Каким же именно путем неполнота проникает в логику, в систему рассуждений? Конструируя верные утверждения на основании справедливых правил их вывода, мы неизбежно придем к неполной системе. Казалось бы, ничего не стоит перейти к большей теории, аксиоматизируя ее собственные Геделевы утверждения, а повторять эту процедуру можно сколько угодно. Однако здесь мы опять упираемся в ту же самую «несомненную» истинность этих утверждений. Иногда их истинность не вызывает вопросов, иногда же, как в примере Маккаллоха, эта самая «несомненность» может сыграть с нами злую шутку. Расширяя теорию, мы каждый раз добавляем к ней утверждения, «несомненно» истинные — а, как мы только что увидели, «несомненная» истинность недостаточно для этого сильна, а порой может быть и вовсе иллюзорной.
Когда мы переходим ко все более и более сильным и сложным теориям, мы неизбежно оказываемся на границах познанного, за пределами хорошо известной математики — того, что описано в учебниках, в статьях и монографиях. Покидая эту твердую почву, мы непременно оказываемся там, где расширение теории всегда будет сначала неуверенным предположением, интуитивным ходом мысли, а не механическим действием. Но не следует понимать это как некое обязательное превосходство человеческого ума над вычислительной процедурой, ведь утверждения на этом пути все более и более предположительны, а человеческие ошибки неизбежны. Можно ли построить алгоритм, делающий предположения? Конечно, можно — мы найдем множество таких алгоритмов в любой самообучающейся системе — но это уже уведет нас далеко в сторону от строгого логического формализма и рассмотрения систем, где основным вопросом является неопровержимая логическая выводимость совершенно верных утверждений. Здесь мне только хотелось бы задержать внимание на том, что алгоритмы, роботы и компьютеры вовсе не обязательно действуют «в лоб», хотя такое заблуждение чрезвычайно распространено — а часто и эксплуатируется, например, тем же Р. Пенроузом и Дж. Серлом; вычислительные процедуры тоже умеют «сомневаться», неуверенно принимают решения, порой неправильные, и могут обучаться на ошибках. Разумеется, сходство с человеческим мышлением здесь чрезвычайно поверхностно: «сомнения» и «неуверенность» робота лишь результат нашего восприятия, невольного анимирования сложного процесса с наблюдаемым сложным поведением; на самом же деле, подо всем этим находятся развитые и интересные математические теории.
В конце концов, нам следует признать неполноту математического знания как свойство, ему присущее, а неявное предположение Пенроуза о непосредственной доступности математической «истины» сознанию отвергнуть: человеческая система математических знаний не может быть одновременно непротиворечивой и содержать утверждения о собственной непротиворечивости. Само собой, нам следует согласиться с ним в той части, где он говорит о невозможности формализовать знание в вычислительном устройстве — математическое знание неформализуемо до конца в принципе. Мысленный мир математики так же глубок и неисчерпаем, как и мир реальный.
XV. Практическая вычислимость
Мы уже видим, что значение невычислимости для практического построения моделей вряд ли заметно. Однако, до сих пор мы говорили только об арифметических моделях реальности. Здесь нам стоит несколько отойти от нашей главной темы, чтобы поразмышлять о различных видах вычислимости и невычислимости, и их влиянии на прикладные математические модели.
Любые вычисления, которые мы можем практически произвести, ограничиваются мощностью наших компьютеров, а они способны производить только целочисленные, арифметические вычисления. Конечно, можно представлять вещественные числа с любой, наперед заданной точностью, как целые; в вычислительных алгоритма мы можем работать с числами произвольной длины (или, что то же самое, точности, если говорить о вещественных числах), но, само собой, не можем вычислять бесконечные натуральные или неограниченно точные вещественные числа. Таким образом, перед нами встает очевидный вопрос: достаточно ли арифметики для (практического) моделирования природных процессов, включая сознание, на вычислительных машинах?
Возьмем обычную динамику Ньютона, которую проходят в школе. Уравнения Ньютона записываются в вещественных числах, например, в уравнении второго закона F=ma и сила F, и масса m могут принимать любые нецелые значения. Можно ли округлять эти вещественные числа до некоторой точности, так, чтобы представлять их целыми числами, и при этом получать приблизительно верное описание механических явлений? Безусловно да, и, более того, начиная с определенной выбранной точности, мы будем вынуждены включать в модель все больший и больший фрагмент реальности. Если мы хотим рассчитать падение камня на поверхность Луны — рассмотрим лунный пример, чтобы забыть о сопротивлении воздуха — с тремя значащими цифрами, нам будет достаточно записать уравнение закона всемирного тяготения для масс Луны и камня. Если мы захотим 10 значащих цифр, нам непременно придется учесть тяготение Земли. Для 20 знаков нам придется учесть Солнце и планеты, при 40 знаках важно уже тяготение звезд… Не говоря уже о том, что при такой точности границы Луны и камня тоже перестают быть очевидно определенными, и расстояние между центрами тяжести камня и Луны перестает быть понятно определимым, да и атмосфера на Луне все-таки имеется.
С какой точностью можно представить всю Вселенную в классических теориях? Наименьшее расстояния, которое вообще имеет смысл физически — планковская длина, 10−35 м. Физика пока не описывает явлений, происходящих в меньших масштабах. Верхняя оценка размера Вселенной составляет 180 миллиардов световых лет, число порядка 1027 м. Получается, что достаточно «всего лишь» 62 десятичных знаков, чтобы выразить размер Вселенной целым числом планковских длин.
Таким образом, целочисленных вычислений достаточно для сегодняшних физических моделей мира. Но насколько хороши эти модели для описания такого устройства, как нервная система? Важны ли те самые процессы, происходящие на длинах меньше планковской, о которых мы еще ничего не знаем? По всей видимости, ответ на этот вопрос отрицательный. Явлений в нейронах, для описания которых необходимо было бы привлекать даже квантовую механику, на сегодняшний день не обнаружено23. Время от времени «квантово-нейронные» гипотезы возникают, однако, никакого экспериментального основания под ними никогда не было. Если даже такие явления и будут открыты, фундаментального переворота в понимании функционирования нервной системы они, скорее всего, не вызовут.
Процессы, происходящие в нервной системе, в основном хаотические. Как хорошо известно, в моделировании таких процессов малые причины вызывают большие последствия. Насколько важна здесь ограниченная точность наших модельных средств? Не вдаваясь в количественные оценки, мы можем ограничиться здесь простым качественным рассуждением: 35 знаков достаточно для выражения размера самого длинного нейрона в планковских длинах. Дальше этой границы лежит неопределенность, где, если модель разойдется с реальностью, то не по причине хаотической расходимости, а по причине более фундаментальной, физической. Таки образом, этот вопрос сводится к предыдущему, и специфического ограничения целочисленное моделирование здесь не вносит.
Суммируя вышесказанное, «арифметичность» вычислительных машин не накладывает существенных ограничений на физические вычислительные модели.
Наихудшее практическое ограничение вычислительных машин происходит от их существования во времени и потребности в энергии — свойствах, неважных для их идеального математического прототипа, машины Тьюринга. Существует большое множество вычислительных задач, где объем вычислений, необходимых для расчета модели, растет экспоненциально с ее размером. Хотя развитие вычислительной техники и позволяет решать многие из подобных задач, которые еще несколько лет назад полагались неразрешимыми на практике именно из-за громадного необходимого объема вычислений, но, например, о моделировании взаимодействия всего лишь нескольких нейронов на уровне составляющих их молекул не может идти и речи — ни сегодня, ни в обозримом будущем.
Но и здесь полагаться на одну лишь «дурную силу» компьютера будет ошибкой. Хотя иногда подобные модели и ценны, но все же они не заменяют собой понимания явлений. Именно этого понимания нам так не хватает в анализе сложных систем с хаотической динамикой, к которым относится и сознание. Здесь стоит вспомнить слова замечательного математика Жака Адамара: «Любое математическое рассуждение, каким бы оно ни было сложным, должно представляться мне в виде единой сущности. Покуда мне не удается схватить его как одну глобальную идею, я не чувствую настоящего понимания» (Hadamard 1954). Хотя прикладные, вычислительные модели нервных процессов достаточно точны, фундаментальная математика сложности только начинает появляться. Так же как Ньютонова динамика потребовала дифференциального анализа, как общая теория относительности Эйнштейна подстегнула развитие тензорного исчисления, так и потребность в понимании сложных природных процессов, к которым относится и сознание, несомненно придает импульс разработке новых фундаментальных математических теорий — этого тончайшего инструмента настоящего понимания.
1 2 3 4 5 6 7
__________________________________
⇧ 18. R. Penrose. Beyond the Doubting of a Shadow. Psyche, 2(23), January 1996; 3.2.
⇧ 19. Sound.
⇧ 20. D. McCullough. Can Humans Escape Gödel? Psyche 2(4), April 1995
⇧ 21. Любую строку можно отобразить на натуральное число: например, закодировать ее в виде последовательности байт в произвольной однозначной символьной кодировке.
⇧ 22. Здесь интересно задуматься о том, насколько человеческий аппарат восприятия подвержен иллюзиям, например, зрительным. Символическое сознание возникло не на голом месте — это эволюционно относительно недавнее приобретение. Механизмы мышления работают в том же самом физическом субстрате мозга, что эволюционировал сотни миллионов лет, развиваясь под давлением совершенно иных, нежели необходимость поразмыслить, факторов. К примеру, язык, основа символического мышления, развился адаптацией коммуникационных систем животного мира (Deacon 1997; Lieberman 2002). Имеют ли «интеллектуальные иллюзии» ту же природу, что и сенсорные? Это один из открытых и чрезвычайно интересный вопрос нейрокогнитивной науки.
⇧ 23. Единственное неклассическое явление, которое должно учитываться — поглощение фотона в рецепторе сетчатки. См также: S. Klein. Is Quantum Mechanics Relevant To Understanding Consciousness? Psyche 2(4), April 1995.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
(no subject)
2010-01-18 07:21 (UTC)Просто "Совершенно естественно, что для математиков, как сообщества, такая склонность человека к «интеллектуальным иллюзиям» интуитивно ясна, и собственные убеждения, как бы сильны они ни были, не служат основанием для признания некоего утверждения истинным." в некоторой степени расходится с "То, что происходило в реальности, прекрасно описывается первым решением. Требуется ли еще и математическая модель для этого случая? Мой ответ — нет, не требуется." из http://fregimus.livejournal.com/83509.html
Или в первой фразе ключевое "для математиков"?
(no subject)
2010-01-18 07:33 (UTC)Прекрасный вопрос, между прочим. Наверное, тут разница в том, что случай с монахом описывает реальную ситуацию, а вот с предположением Гольдбаха мы в жизни не встречаемся. Два человека, идущих навстречу друг другу, непременно встретятся — это как бы жизненный опыт. А вот чтобы простые числа лежали и разлагались на простые слагаемые — такого мы в жизни не встречаем.
Если такое объяснение не убеждает, то другого я не приведу, но попробую объяснить, почему нет. В случае с двумя монахами можно привлечь математические свойства пространства, в котором они двигаются, доказать непрерывность и пересечение траекторий, и так далее. Но этого делать не надо именно потому, что все было сделано в обратном порядке. Непрерывность нашего обычного пространства, в котором ходят монахи — не математическое следствие каких-то формул, а опытное наблюдение. Все его математические свойства не доказываются из аксиом; эти свойства являются обобщением наблюдений. Именно поэтому в математическую глубину тут залезать и не надо: простой опыт вполне совместим с этой моделью. Гольдбах — другое, здесь вывод из аксиом, принцип постижения (скажет платонинст) или создания математического мира другой.
(no subject)
2010-01-18 08:05 (UTC)При таком подходе нам необходимо каким-то образом (желательно формально или хотя бы воспроизводимо) определять что еще может считаться "как бы жизненным опытом", а что уже требует доказательства формального.
Мы в вами, вроде бы, в посте про монахов рассуждали про парадокс Монти-Холла. И ваш аргумент за необходимость формального доказательства решения парадокса заключался, в частности, в "Вероятности не относятся к числу наблюдаемых ежедневно явлений, а бродячие буддийские монахи гораздо вещественнее." Что само по себе спорно (в карты я, например, играю гораздо чаще, чем забираюсь на горы или вижу монахов), но даже если мы принимаем этот аргумент - остается вопрос "как из постановки задачи понять необходимо ли формальное доказательство или достаточно интуитивного рассуждения?".
Я в свое время (при подготовке к экзамену по матану) доказывал что предел от константы равен константе. Уж, казалось бы, чего очевиднее. Однако, доказательство (для начинающего слушателя матанализа) было весьма интересным и нетривиальным.
(no subject)
2010-01-18 08:23 (UTC)Критерий, наверное, отсюда просится. Не следует искать математических доказательств внутри моделей мира, построенных из «очевидного», потому что это получатся циркулярные «доказательства», опирающиеся, в конце концов, на то, что они будто бы доказывают. То, что графики координаты монахов пересекутся или что функции их координаты сравняются мы можем доказать — но только внутри модели; истинность самой модели при этом не доказывается. Нельзя же доказать математически, что координата монаха является непрерывной функцией! Здесь вопрос не в доказательстве, а в том, в какой момент мы физическую модель полностью оторвем от реальности и превратим в графики и формулы.
Насчет игры в карты — то же самое. Вероятности — не карты! Большинство людей, играющих в подкидного дурака, в вероятностях не разбираются и уж точно теорию вероятности не применяют. Здесь получается, что Вы присваиваете очевидность, наблюдаемость ненаблюдаемому, математическому явлению, возникающему в модели.
(no subject)
2010-01-18 08:34 (UTC)Вот.
Это, с моей точки зрения, один из ключевых моментов.
ходила байка о лекторе, который в начале лекции сказал "ну, вот отсюда, очевидным образом, следует эта формула". На вопрос "как именно следует" он удалился на час и к концу лекции вышел со словами "ну действительно очевидно - вот так вот и так"
В случае с данным конкретным монахом (, данной конкретной константой и парадоксом) - "все понятно и очевидно".
Однако, если мы представим себе задачу "в общем случае" - то без построения модели и доказательства в ее рамках обходиться будет все-таки некорректно.
Таким образом, очевидность даже самых, казалось бы, "интуитивно очевидных" вещей необходимо все-таки доказывать (очерчивая, в частности, области применимости модели).
Например, наша очевидная модель с монахом не предусматривает его способности в медитации телепортироваться (чем он постоянно и занимается по утрам второго дня). Что может быть вполне очевидно на планете триглюк-альфа, для тамошних монахов. :)
(no subject)
2010-01-18 09:08 (UTC)(no subject)
2010-01-18 10:00 (UTC)(no subject)
2010-01-18 10:14 (UTC)(no subject)
2010-01-18 10:36 (UTC)(no subject)
2010-01-18 10:37 (UTC)(no subject)
2010-01-18 10:42 (UTC)(no subject)
2010-01-18 10:43 (UTC)машина и оракул
2010-01-18 11:08 (UTC)Мне видится некое явное лукавство в позиции "формалистов", которые хотят вообще "упразднить" интуицию. Это бросается в глаза вот из каких соображений: "формалист" был бы готов принять тезис о непротиворечивости арифметики при наличии некого "финитного" доказательства, которое фактически означает доказательства в РА. Но почему такое доказательство его в чём-то должно убедить? Не потому ли, что в сами аксиомы РА он уже "поверил" -- коль скоро на них он считает возможным опереться? Но такая вера мало чем отличается от веры в непротиворечивость. Откуда у нас вообще возникает "доверие" к системе РА? Не по той ли причине, что эта система что-то верно описывает?
Более того, само рассмотрение суждений типа "формальная арифметика непротиворечива" как осмысленных истин, уже предполагает "веру" в натуральный ряд.
"Формалистическая" позиция могла бы оказаться состоятельной вот в каком случае. Если бы программа Гильберта удалась в своём "первоначальном" виде, то тогда стало бы возможным "прикинуться" и сказать, что мы вообще ничего "не финитного" мыслить не желаем. Что эти утверждения об истинности чего-то вообще никакого смысла не имеют, а реальны лишь факты о "конечном" -- в частности, о выводимости из заданной исстемы аксиом. И что сама эта выводимость есть просто выводимость, за которой не надо видеть ничего другого. То есть просто имеет место некая игра по правилам, и только в таком аспекете всё следует понимать, дабы избежать "теологии" и "мистики".
Даже если представить себе кого-то, кто хотя бы отчасти верит в "теологию", он мог бы занять такую позицию, что другой человек в это всё может уже не верить, теорию множеств и прочее -- не принимать, и тогда те или иные "истины" ему можно было бы "скормить" в другой форме. То есть не "арифметика непротиворечива" (что не имеет смысла для "суженного" сознания), а "выводимо такое-то и такое-то утверждение из таких-то формул по таким-то правилам". Но такую редукцию осуществить не удалось, и тогда приходится либо не заниматься математикой вообще, либо всё-таки признать хотя бы минимум "теологии".
Что же касается общего тезиса, будто человек якобы обладает какими-то "немашинными" возможностями (во что, как я понимаю, Вы совершенно не верите, и я тоже нисколько не верю), то я считаю наиболее сильным возражением против него одно замечание, которое не раз уже излагал. Если машина может как-то извлекать информацию из внешнего мира -- пусть даже это самая простая машина Тьюринга, то её возможности потенциально безграничны совершенно независимо от теоремы Гёделя.
Чтобы понять это, достаточно представить себе такое "волшебное" число, которое "даёт ответы на все вопросы". Устроено оно так: все осмысленные вопросы (например, о натуральных числах) нумеруются, и мы пишем 0 или 1 на n-м месте в зависимости от того, является ли ответ на n-й вопрос ложным или истинным соответственно. Это приводит к некому фиксированному действительному числу. "Обладание" таким числом дало бы хоть человеку, хоть машине возможность ответить на любой вопрос. По сути дела, это есть некий "оракул", то есть известное понятие из теории алгоритмов.
Так вот, откуда следует, что в Природе не существует такого "оракула"? Как можно доказать, что среди всего многообразия природных явлений не существует именно такого? А если оно в принципе может существовать, то машина может обращаться к этому "оракулу" и тем самым давать ответы на какие угодно вопросы. То есть сама по себе возможность получать из внешнего мира информацию, делает машину с простым внутренним устройством уже в каком-то смысле столь же "мощной" как и вся окружающая Реальность. И все человеческие "инсайты" есть не что иное как результат экспериментов с внешним миром. Что машина может делать с не меньшим успехом.
(no subject)
2010-01-18 11:11 (UTC)Первое решение задачи про монахов - это и есть строгое математическое рассуждение. Никакого "более строгого" решения не существует. Ввод в рассмотрение графиков, непрерывных функций, и т.п. вплоть до теории множеств - могут нам помочь обобщить решение на некоторый более широкий класс задач, исследовать пределы применимости этого рассуждения, рассказать нам что-то о наших внутренних представлениях, но ничего не добавят к решению данной конкретной задачи. Потому, что в основе математики (не "формальных основаниях" - этот термин несколько вводит в заблуждение - а в настоящей, эпистемологической, основе) лежат именно такие базовые представления о пространстве, а все остальное (включая аксиомы) - держится именно на них.
Простой пример: утверждение теоремы Пифагора не изменилось за 3000 лет (считая с того времени, когда она еще не была теоремой, поскольку не требовала доказательства, но уже была известна людям). А аксиомы геометрии мало того, что появились позже, но и не раз менялись за этот срок. Современная аксиоматика (кстати, она не единственна) имеет с евклидовой общего разве что традиционное разбиение аксиом на 5 групп, по числу постулатов Евклида. Соответственно, менялись и доказательства. Этот пример хорошо показывает, что на самом деле является основанием математики, а что - результатом.
Математика движется от самоочевидных вещей в две стороны - ко все более сложным следствиям этих очевидностей, и ко все более глубоким представлениям, лежащим в основе очевидности. Но и сложнейшие теоремы, и абстрактнейшие аксиомы теории множеств "прикреплены" к реальности единственным гвоздем - той самой очевидностью.
Поэтому, если у задачи, описывающей реальную пространственную ситуацию, существует простое интуитивное решение - именно оно и есть самое строгое математическое. Все формализации, обобщения, возведения к аксиомам все равно, в конечном счете, держатся на простанственной интуитиции - и, следовательно, не добавляют решению основательности.
Re: машина и оракул
2010-01-18 11:18 (UTC)Представьте себе, что во вся вселенная состоит из конечного числа элементов (а у современной науки нет оснований утверждать обратное). Тогда то, что мы "видим" - это лишь выполнение аксиом арифметики до некоторого (достаточно большого) числа. Такая система аксиом не удовлетворяет условиям теоремы Геделя. А арифметика Пеано - лишь абстракция, придуманная людьми для упрощения (чтобы не пришлось выписывать законы сложения каждого отдельного числа с каждым), и "истинна" она целиком или нет - вопрос веры.
(no subject)
2010-01-18 11:29 (UTC)Хм.
"Они встретятся" вы находите строгим математическим утверждением?
Весьма сомнительно. Сразу возникает вопрос "почему вы считаете что они встретятся?". И ответ на него дается вида "всегда до сих пор встречались" (или "ну это же очевидно"), что корректным обоснованием утверждения может считаться с большой натяжкой. Кому-то очевидно, кому-то нет.
Теорема пифагора строго говоря не верна вне контекста евклидовой аксиоматики (скажем, типичный равносторонний треугольник - четверть сферы. Для него не верна. Геометрия - это все-таки измерение земли), так что тут пример скорее отрицательный.
Да, "для всех практически значимых целей" - вполне подходит.
Но если речь идет о задаче (не практической, а теоретической, даже скорее аналитической) - то необходима модель для обрисовывания условий, в которых решение верно.
Если вдруг задача о монахах возникнет в некоем практическом контексте - да, "они встретятся" будет достаточно корректным ответом. В частности потому, что "условия известны" [воон там идет монах Сунь Вынь, про него все]
Если же речь идет об абстрактной задаче, то можно "обговорить кучу условий" (типа "монахи обычные", "телепортироваться не умеют", "могут ли они не встретиться? Нет, потому что тогда ...") - в таком случае да, рассуждение, даже без использования математического сленга будет вполне корректным и полным.
А можно построить модель - и то же самое будет гораздо короче.
Собственно, для упрощения рассуждений мат. модели и строятся.
У fregimus-а по этому поводу в предыдущем Гёделевском посте написано, про ИИ. Правильнам терминология (скажем, выражение расстояния между монахами в виде f(f)) позволяет понять (я бы сказал "грокнуть") задачу и ее решение более полно.
(no subject)
2010-01-18 11:33 (UTC)Вы не читали статьи М. Дэвиса о гипервычислениях? http://www.amsta.leeds.ac.uk/~pmt6sbc/docs/davis.myth.pdf
Я бы не называл эти вещи «мистикой» и «теологией» — просто вера, не обоснованное в сенсорной реальности уверенность в истинности определенных вещей.
абстрактное и идеальное
2010-01-18 11:44 (UTC)Если мы даём себе разрешение на привлечение идеи "актуальной бесконечности", то никакой разницы между "большими" и "малыми" величинами просто нет. Рассуждения при помощи математической индукции позволяют вместо очень длинного доказательства предъявить короткий "шаблон" для написания конкретных "длинных" доказательств.
Когда говорят об "абстракциях", очень часто употребляют не то слово. Натуральный ряд отнюдь не есть "абстракция" -- это типичная "идеализация". Слово "абстрактный" означает "отвлечённый", и на каких-то типичных примерах можно проследить процесс "абстрагирования". Вот есть два яблока, лежащие на столе. Мы их видим. Далее мы абстрагируемся от этого примера и говорим о "двух яблоках" вообще -- которые могут быть в какой-то ещё ситуации. А затем мы можем "абстрагироваться" и от яблок, говоря просто о числе "два".
Когда говорится о геометрических линиях, то считается, будто мы там тоже "абстрагируемся" от таких понятий как "длина" или "ширина", но это вообще-то здесь уже совсем не так. Мы вместо "материального" объекта, когда линия имеет "очень малую" ширину, представляем себе объект с "нулевой" шириной, которого в "материальном" мире просто нет. То есть там налицо объект сугубо "идеальный".
Наконец, в случае натурального ряда, мне кажется, вообще невозможно выстроить какую-то "цепочку" как в примере с яблоками, которая показывает, от чего мы в итоге "отвлекаемся". То есть это вообще не "абстракция", а один из самых "чистых" примеров "идеализации".
Верно лишь то, что законы типа a+b=b+a можно рассматривать как "абстракции" по отношению к конкретным фактам типа 2+3=3+2. Но такого представления недостаточно, поскольку если мы говорим о коммутативном законе в его "полном" объёме, то сами эти переменные могут уже принимать значения из всей области натуральных чисел. Принятие которой, на мой взгляд, есть несомненный акт "идеализации".
непоследовательность
2010-01-18 11:52 (UTC)Но ведь совершенно ясно, что "верных" теорий (в смысле отстутствия видимых противоречий) может быть сколько угодно. Сам факт о конечности мира или конечности энтропии (а не какие-то его следствия) в принципе невозможно проверить на опыте. Тем не менее, в него полагается свято верить, ибо это "наука". А вот в натуральные числа почему-то верить считается не обязательно! Даром, что все следствия арифметики прекрасно подтверждаются практикой -- в гораздо более несомненной степени, нежели "энтропия".
Не кажется ли Вам, что гносеологическая позиция "физикалистов" в этом вопросе является абсолютно непоследовательной -- если не сказать, что совершенно несостоятельной?
в целях экономии времени
2010-01-18 12:07 (UTC)Поэтому я был бы Вам признателен или за краткий пересказ каких-то основных тезисов, или за указание на отдельные части статьи, которые имеет смысл прочитать внимательно.
Re: непоследовательность
2010-01-18 12:18 (UTC)Re: в целях экономии времени
2010-01-18 12:41 (UTC)замысел Творца
2010-01-18 12:51 (UTC)С моей точки зрения, физика, будучи частью познания, даёт нам какие-то представления о внешнем мире за счёт построения "моделей". Которые сами по себе могут быть какими угодно. Ценность познания вовсе не в том, что оно даёт нам "верный образ" мира как такового. В чём именно эта ценность состоит, я думаю, обсуждать излишне. Но для меня несомненно то, что она есть -- несмотря на отвергаемую мной претензию людей науки, что вот мы-де "разгадали замысел Творца".
На самом деле в такой позиции гораздо больше "религиозного" (в общепринятом толковании слова) нежели в моей. Я не верю ни в какого "Творца" -- это не более чем метафора. Тем более я не верю ни в какой "замысел". Это всего-навсего наделение Бога человеческими качествами, то есть "антропоморфизм".
Поэтому отвергать науку я и не думаю, но вот принимать "безоглядно" веру в какие-то сомнительные вещи я тоже не хочу. Поэтому давайте поставим вопрос так. Если Вы выступаете за "научность", то есть ли хоть какое-то убедительное свидетельство того, что "энтропия мира конечна"? Для меня сама формулировка этого принципа не имеет смысла вне модели, поэтому мне было бы интересно, как Вы можете обосновать "глобальность" такого тезиса.
Пока что аргументация мне кажется совершенно беспомощной. Получается так, что придуманы какие-то конструкции, которые согласуются с опытом. Я сразу же хочу спросить: а откуда следует, что не существует других конструкций, которые всё объясняют так же или даже лучше, но где мир уже не обладает "конечной энтропией"? Я думаю, Вы не хуже меня знаете, что никаких аргументов в пользу единственности моделей в наличии не имеется.
очертить круг
2010-01-18 12:58 (UTC)Если Вы читали статью целиком, то, может быть, Вам будет нетрудно указать на какие-то особо заслуживающие внимания места? Потому что даже если там содержатся знакомые мне идеи, полезно будет как-то "очертить их круг", то есть зафиксировать тот факт, что они рассматриваются в таких-то и таких-то пределах.
Re: машина и оракул
2010-01-18 13:46 (UTC)Более того, сам Пенроуз, в качестве решения загадки сознания, предполагает, что сознание как раз пользуется таким оракулом (существование которого он связывает с квантовыми измерениями и квантовой гравитацией). Тем самым, в контексте обсуждения идей Пенроуза естественно предполагать существование таких оракулов.
Но если предположить, что такие оракулы вообще существуют в природе, то нет никаких причин к тому, чтобы компьютеры не могли ими воспользоваться, независимо от того, находятся ли оракулы "внутри" этих компьютеров.