Теория невероятности

[fregimus]

Очень многие «находки» шаблонов нейронной активности, будто бы обнаруженных исследованиями методом ФМРТ, на самом деле не имеют правильного обоснования. Кажется, что ФМРТ уже стала френологией XXI века, настолько низок процент интересных работ, теряющихся в потоке явной нелепости. Удивительно, но такое впечатление, что статистика, методологически, для экспериментаторов является чем-то вроде бытовой магии: формулы применяются без понимания того, что в них можно подставить, так что несуразности результата не удивляют отнюдь. Э. Вул и Н. Кэнвишер описывают, с примерами из настоящих, сравнительно недавних статей, как нельзя применять статистику при анализе результатов ФМРТ[1]. Вводное рассуждение уж очень мне понравилось, хочу его пересказать.

Представьте, что перед вами колода из 52 перетасованных карт. Вы достаете одну карту — десятка бубен. Случилось событие с вероятностью 1/52.

Примечательно.

Открываете следующую карту — восьмерка пик. Вероятность появления восьмерки пик вслед за десяткой бубен равна 1/52 × 1/51 = 1/2652.

Невероятно.

Дальше идут валет червей, туз треф… Вероятность того, что карты оказались именно в таком порядке, равна 1/52! ≈ 1,2×10⁻⁶⁸. И это событие с вами все-таки случилось.

Потрясающе!

Вывод о том, что событие с подобной вероятностью все-таки приключилось, несомненно, абсурден. Тем не менее, подобные рассуждения вы встретите сплошь и рядом. На этом основании рассуждают, например, что вероятность возникновения жизни на Земле настолько мала, что без «разумного дизайна» дело ну просто никак не могло обойтись…

И, в качестве легкой задачки: а в чем ошибка-то?

_____________________________
1. Edward Vul, Nancy Kanwisher. Begging the Question: The Non-Independence Error in fMRI Data Analysis (in press)

Comments

[spamsink.livejournal.com]

Вероятность апостериорной не бывает.

[fregimus.livejournal.com]

Ну, Вы математик, для Вас это очевидно. А как вот это объяснить «на пальцах», чтобы всем понятно было?

[spamsink.livejournal.com]

- Событие произошло?
- Да.
- Точно произошло?
- Ну да.
- Никаких сомнений? Совершенно достоверно произошло?
- Я ж говорю, да!
- Для достоверных событий вероятность по определению равна единице.

[deni-ok.livejournal.com]

Я бы не стал так жёстко говорить. Формула Байеса P(H_i|A)=P(A|H_i)P(H_i)/P(A) разве не апостериорные вероятности гипотез вычисляет?

[spamsink.livejournal.com]

Это не то. Это условная вероятность апостериори связанного события.

[gest_hds]

Мне по невежеству кажется, что вероятность раскладывания колоды - априори единица, а конкретная последовательность всегда будет иметь ничтожную вероятность как априори, так и апостериори?

[tc-phey.livejournal.com]

А почему на костях(не важно сколько граней. Довольно долго играю в настольные игры и перепробовал бросать какие угодно кубики) чаще выпадают числа, блзкие к среднему значению, в то время, как шестёрка(20,10,100) выпадают ещё реже, чем 1. Ведь, насколько я понимаю, вероятность выпадения любого числа одинакова.

p.s. Неужели это просто моя плохая карма?

[old-surehand.livejournal.com]

Это не пример "случаев неприменимости статистики", а разновидность хорошо известной логической ошибки, т.н. "Fallacy of the maturity of chances", или по-русски: "ложный вывод Монте Карло".

[deni-ok.livejournal.com]

Я лишь о том, что есть контексты, в которых "апостериорная вероятность" некоторым образом "бывает". Понятно, что "вероятность" и "апостериори" имеет смысл относить к разным событиям, в противном случае, как верно отмечено, апостериорная вероятность --- единица (ну или ноль).

[degtyarchuk.livejournal.com]

а как же цэ из эн по ка? )))

[spamsink.livejournal.com]

вероятность раскладывания колоды - априори единица

В каком смысле?

конкретная последовательность всегда будет иметь ничтожную вероятность как априори, так и апостериори

Рассмотрим механизм эксперимента. Для простоты возьмем вместо колоды игральную кость. Чтобы выяснить частоту (как приближение к теоретической вероятности) получения конкретного априорного числа очков, мы проделываем серию экспериментов "сначала выбираем конкретное число - затем бросаем кость - сравниваем выбранное число с числом очков на верхней грани кости", и делим количество экспериментов, в которых они совпали на общее число экспериментов. При большом числе экспериментов получим что-то, близкое к 1/6.

Апостериорный "эксперимент" будет таким: сначала бросаем кость - затем, зная, что выпало, "выбираем" выпавшее число - сравниваем - ... При этом число совпадений будет очевидным образом равно числу экспериментов.

[fregimus.livejournal.com]

Простите, не могу понять Вашего вопроса. Карма тут наверняка ни при чем, а остальное — не совсем понятно.

[fregimus.livejournal.com]

Нет, это совсем не она. Там речь о том, что, если шестерка на кубике давно не выпадала, якобы вероятность ее выпадения увеличивается, as if the chance matures, hence the name. «Зреет»?

[gest_hds]

В том смысле, что при раскладывании колоды мы всегда будем получать некую последовательность. И хотя вероятность получения какой-то заранее заданной последовательности ничтожна, некую последовательность мы получим всё равно, и потому удивления её низкая вероятность вызывать не должна. Как-то так.

[pphantom.livejournal.com]

С использованием примеров вроде процитированного. Как показывает опыт, толковые школьники старших классов понимают это без особых проблем.

[calcin.livejournal.com]

Потому, что шестёрка и единица - это два варианта, а близких к среднему значению 2 - 3 - 4 - 5 - четыре варианта.
Если же сравнивать в длинной серии, то вариант (1,6) и вариант (3,4) выпадает с одинаковой вероятностью.
Впрочем, это если кубик один.
Если же кубиков много, допустим, два, то две единицы могут выпасть единственным образом, а семёрка - 1+6 2+5 3+4 4+3 5+2 6+1 - шесть вариантов.

эксперименты физические и мыслительные (1)

[falcao.livejournal.com]

Мне нравится анализировать подобного рода вопросы. Хотя понятно, что мы ничего принципиально нового не унаем о самом явлении (то есть не сможем лучше угадывать выбираемые карты), но мы тем не менее начинаем после такого анализа лучше понимать кое-какие свои мыслительные конструкции.

Я бы предложил вот какое объяснение. Возможна такая точка зрения, что если первым выпала десятка бубен, то именно она и должна была выпасть с вероятностью единица. Мир так устроен! а то, что мы этого не знали, так то не удивительно. Мы не знаем очень и очень многого.

То же касается остальных бросаний. На втором шаге выпала восьмёрка пик. Это было тоже предопределено "судьбой". И во всех случаях происходит то, что должно было произойти. Вероятности равны 1, и парадокса нет.

Разумеется, такое объяснение может кого-то не удовлетворить. Я сам тоже не считаю его "основным" -- оно предваряет последующее рассуждение. Итак, выпала десятка бубен, и некто заявляет, что вероятность этого события равна 1/52. Примем такую точку зрения, но уточним, что она означает. Априори допускалось, что выпасть могут и другие карты. То есть мы проделали 52 мысленных эксперимента, считая их равнозначными. В одном из них выпала наша карта. Именно поэтому за вероятность и была принята величина 1/52.

Что было дальше? Мы в каждом из 52 случаев рассмотрели 51 возможное продолжение. В итоге наше "пространство эксперимента" (или "вероятностное пространство") расширилось до числа 52*51. Именно столько случаев мы теперь различаем. В одном из них последовало выпадение восьмёрки пик за десяткой бубен. И мы говорим, что вероятность составила 1/(52*51).

Всё это можно интерпретировать так: мы произвели 52*51 мысленных экспериментов. В одном из них наступило то, что нас интересовало. Если это рассуждение продолжить далее, то всякий раз окажется, что после рассмотрения N мысленных экспериментов, в одном случае наступило интересующее нас событие.

Теперь можно ответить на вопрос "в чём ошибка". Если мы не стоим на позициях "оголтелого" детерминизма и допускаем наступление каких-то других исходов, и вообще говорим о вероятностях, то мы неизбежно ставим себя в ситуацию совершения большого количества мысленных экспериментов. У нас наступает "маловероятное" событие, вероятность которого равна 1/N, где N есть какое-то огромное число. Этому можно удивиться, если считать, что эксперимент был всего один. В реальности так оно и было, но если исходить из того, что только эта реальность и бывает, то это соответствует позиции детерминизма. Где всегда происходит нечто единственно возможное и должное с вероятностью единица.

А когда мы заводим речь о вероятностях, то это означает, что из "убогой" физической реальности, где всё детерминировано, мы "переселяем" себя в огромное вероятностное пространство, состоящее из всех возможных исходов. Где мы проделываем мысленно все N экспериментов. И когда экспериментов становится так много, то не удивительно, что принцип, на который мы опираемся, уже неприменим. Я имею в виду известное нам из опыта правило, что события, имеющую совсем маленькую вероятность, никогда не наступают. Это верно, но лишь для одного эксперимента, а никак не для N.

Please do not reply to this section!

[adlov.livejournal.com]

Спасибо за цитату. Надо читать всем профессорам, которые доказывают бытие божье через цепочку ДНК.

эксперименты физические и мыслительные (2)

[falcao.livejournal.com]

Поэтому главной ошибкой я считаю некорректное смешение "физической" и "мыслительной" реальности. Опора на принцип, который я только что сформулировал -- это эмпирический факт физической реальности, где мы проводим "мало" экспериментов. Он неверен для "мыслительной" реальности, в которой проведение 52! экспериментов есть обычное дело. И к этой, можно сказать, "виртуальной" реальности можно либо хотеть обращаться, либо не хотеть. В первом случае, когда мы просто принимаем "классическую" концепцию вероятности, мы уже даём как бы "подписку" на все особенности этой "виртуальной реальности", включая возможность проведения огромного числа мысленных экспериментов. А во втором случае, когда всё только "физично", никаких вероятностей и никаких огромных чисел просто нет. Там всё детерминировано.

То есть тут получилась такая же попытка "сидения на двух стульях", как и в случае апорий Зенона, что я когда-то подробно анализировал. Либо мы принимаем бесконечность как таковую, со всеми её "потрохами" и особенностями, допуская возможность последовательного "актуального" наступления бесконечной череды событий, что в "виртуальном" мире бывает. Либо мы этого не делаем, ограничивая себя в том числе в выразительных средствах. Но тогда сам парадокс мы даже не будем в состоянии сформулировать. Возникает он лишь "на границе" двух противоречащих друг другу концепций, когда можно менять точку зрения и бегать "туда-сюда".

жизнь в колоде карт

[falcao.livejournal.com]

Мне кажется, те рассуждения, которые Вы критикуете, в основе своей вполне корректны. Их надо всего лишь "очистить" от "примесей". Которые, к сожалению, почти всегда присутствуют, то есть частично Вы всё-таки правы. Но это довод не против Бога и не против теологии, а против плохого изложения идей. Даже математику научились излагать как следует только со временем, а когда-то и там царил "бедлам". Люди на ровном месте ломали голову над вопросами о том, как же это "одна и та же" величина может быть одновременно не равна нулю, и при этом равна нулю! :)

По поводу ДНК можно было бы сказать вот что. Мы ставим себя в положение гипотетического "Бога" и пытаемся сами создать нужные "цепочки" при помощи перебора. Оценка вероятностей приводит нас к выводу, что это не в наших силах, и что даже если мы вооружимся компьютером, то это не приведёт к успеху.

Какой вывод из всего этого можно счесть корректным? Я думаю, тот, что коль скоро в Природе требуемые "цепочки" как-то создались, то это означает, что в ней действуют какие-то "силы", превосходящие наши. Этот вывод вполне корректен. Далее можно либо примыкать к определённой традиции, согласно которой всё, что превосходит "человеческое", считается "божественным", либо нет. Это уже не более чем вопрос конвенции.

Лично мне ближе всего пантеистическая позиция: "Бог везде". Что, например, говорит нам эксперимент с картами? Когда на наших глазах произошло "невероятное" событие? Я склонен считать, что уже в нём скрыта "божественная сила". В которой, разумеется, нет ничего "мистического". Это то, что нас окружает везде и всюду.

Думаю, вряд ли можно сомневаться в том, что цепочки ДНК созданы этой же "силой". Думаю, Вы неявно эту аналогию подразумевали. Но Вы при этом считаете, что это может служить аргументом атеистического толка. Наверное, может, если априори считать, что "в колоде карт Бога нет" :) Но в равной мере это вписывается и в пантеистическую картину, когда Бог "живёт" всюду, в том числе и в колоде карт! :)

Re: жизнь в колоде карт

[adlov.livejournal.com]

Есть причина, по которой мир переходит из одного состояния в другое. И эта причина пока или навсегда остается за рамками понимания человека.
Термин "эволюция" для обозначения этой причины ничем не лучше термина "бог", а утверждение "бог в начале" не более доказуемо, чем утверждение "бог везде".
Есть тайна, к разгадке которой мы не ближе наших далеких предков. Тем меня и расстраивают вышеупомянутые профессора, что прячут от публики эту тайну при помощи дешевых логических фокусов.

[tc-phey.livejournal.com]

Я некоректно выразился.
Дело в том, что я имел ввиду сравнение, к примеру, часты выпадения тройки и шестёрки. Мне кажется, что первый вариант встречается чаще. Я не прав?

[tc-phey.livejournal.com]

О карме я упомянул только ради того, чтобы как-то перукрасить свой вопрос ;)

[tc-phey.livejournal.com]

Сам только что покидал кубик и за семь бросков выкинул все возможные значения(еденица повторялась) :)

[fat-crocodile.livejournal.com]

Можно про жизнь поподробнее?

С картами всё довольно просто, у нас очень ограничена область возможных событий. Как ни крути, какую-то последовательность карт мы вытащим, а больше ничего не анализируется. Вот если бы у нас были сплошь картинки, или все трефы -- другое дело.

Утверждение же "как ни крути какая-то разумная жизнь на планете будет" не вполне очевидно.