Революционная задачка для артиллеристов

[fregimus]

Крейсер «Аврора» стреляет большим чугунным ядром по Зимнему дворцу. Воздух между крейсером и дворцом предусмотрительно откачан, так что аэродинамическим сопротивлением следует пренебречь. Какой геометрической кривой описывается траектория ядра? Ответ должен быть общим и содержать объяснение; частные вырожденные случаи (например, прямая линия при выстреле вертикально вверх) неинтересны.

Комментарии спрятаны. Ответ и чествование победителей завтра.

Большинство ответов совершенно правильные: траектория ядра — эллипс. Это легко понять, представив себе летящее ядро спутником Земли. Если уменьшить Землю до точечной массы, чтобы ядро не врезалось в ее поверхность, то оно будет летать по эллиптической орбите с Землей в одном из фокусов. Так что можно заключить, что победили все.

Параболическая траектория получается в приближении постоянного во всех направлениях поля силы тяжести. Ядро летящее на высоте h, будет весить меньше в (1 + h/R) раз, где R — радиус земли. Таким образом, вес ядра на высоте 6,5 км уменьшается всего на 0,1%. Для решения большинства задач, не связанных с космическими полетами, этой разницей можно пренебречь, что и делается в школьном курсе физики. Только не надо забывать, что это все-таки приближение.

janatem поднял хороший вопрос о том, что происходит с ядром в системе отсчета, связанной с Землей. Разумеется, орбита в форме плоского эллипса будет наблюдаться только в системе, связанной с неподвижными звездами; с Земли все будет выглядеть иначе. Представим себе высокую башню, расположенную на экваторе, с которой мы будем запускать ядро на круговую орбиту. Если мы сообщим ядру скорость в направлении точно на север в земной системе отсчета, то оно не попадет на полюс: ведь его начальная скорость в небесной инерциальной системе отсчета складывается из экваториальной скорости движения башни (точно на восток) и сообщенной ядру скорости (точно на север), и суммарная скорость будет направлена на северо-запад. Если же мы запустим ядро так, чтобы оно пролетало над полюсами, то его скорость, наблюдаемая с Земли, будет наибольшей на экваторе, когда земная поверхность быстрее всего поворачивается под кольцом полярной орбиты, и наименьшей на полюсе. Стоя на полюсе, однако, вы увидите, как орбита ядра искривляется у вас над головой. Таким образом, мы как будто наблюдаем действие силы на ядро (силы Кориолиса), сообщающей ему максимальное ускорение над полюсами и нулевое над экватором. Такие силы всегда возникают, когда движение рассматривается в неинерциальной системе отсчета. Траектория из плоской окружности превращается в некую более сложную кривую, которая повторяет окружность только на околоэкваториальных участках (в общем случае, это будут участки двух разных, не копланарных, окружностей), и имеющая наиболее высокую кривизну у полюсов. У меня не сложилось пока точного геометрического описания этой кривой; порассуждать об этом было бы любопытно.

Приз за научную пытливость получает fat_crocodile за открытие I закона Кеплера и (правда, незавершенный) вывод его из закона всемирного тяготения. Полностью вывод, следующий Ньютону, но в современных терминах и обозначениях, приводится с подробностями в записке А. Фрейра (англ.).

Доб. pphantom справедливо заметил, что эллипс тоже не будет точным ответом. Эллипс получится, только если принять форму Земли идеально шарообразной, а ее плотность равномерной или распределенной сферически симметрично. Для реальной Земли отличие параболического приближения от эллиптического будет, на масштабах нескольких километров, не менее отличия эллиптического приближения от реального.

Comments

[v-s-c.livejournal.com]

Если аккуратно, то эллипсом. Но парабола тоже вполне сойдет (если Вы не против считать Землю плоской).

[surmenok.livejournal.com]

По баллистической траектории, которая в отсутствие сопротивления воздуха имеет форму эллипса.

[janatem.livejournal.com]

Местоположение дворца легко узнать по карте, но вот вопрос: где был крейсер в момент атаки? Важно, в частности, севернее или южнее. Может и так случиться, что траектория будет плоской.

[fregimus.livejournal.com]

А Вы рассмотрите разные варианты. Чем обще, тем лучше.

[valenbert.livejournal.com]

Эллипс, который однако при малых скоростях вытягивается в параболу.

[varthan.livejournal.com]

"Крейсер «Аврора» стреляет большим чугунным ядром по Зимнему дворцу."
Ответ: никакой. На "Авроре" нет соответствующего дивайса.

[varthan.livejournal.com]

Протестуйу!
Мой ответ самый точный!
"уменьшить Землю до точечной массы", гы. Подозреваю, что в этом случае никто никуда не полетит, ибо из чОрной дыры, по словам очевидцев, летать затруднительно...

[localghost.livejournal.com]

Ох. Ну в школе ведь учили, что парабола.
Вроде так. При отсутствии воздуха остается только сила притяжения, если ее изменением в зависимости от высоты мы тоже пренебрегаем, то вертикальная координата меняется по правилу равноускоренного движения, а горизонтальная не меняется. Парабола.

Прикинуть в уме, что делать, если не пренебрегать изменением силы притяжения, не могу :(

[timur0.livejournal.com]

если земля плоская - по параболе, если шарообразная - по эллипсу.

[old-radist.livejournal.com]

До столкновения с ЗД кривая свободного полета ядра должна быть - если оно не достигает космических скоростей - параболой, насколько мне помнится из школьного курса физики. Поскольку ядро находится в постоянном поле сил тяготения, то они действуют на ядро в каждый момент снова и снова, что неким волшебно-математическим образом и пересчитывается в квадратичную функцию игрека от икса.

[vadim-i-z.livejournal.com]

Интересно было бы рассмотреть выстрел по Зимнему дворцу вертикально вверх. Аврора выползает на набережную и тихо движется через дорогу...

[kryakwa.livejournal.com]

С материальной точкой понятно:две параболы. Или одна, если ядро попадёт в Зимний раньше, чем достигнет верхней точки.
Но большое чугунное ядро... Собственные вращения, плюс вращение Земли...
Не возьмусь, слаба-с. :)

[http://users.livejournal.com/_winnie/]

Эм. Ну это какая-то кривая второго порядка. Скорее всего эллипс, у которого второй фокус находится в центре земли и поэтому он очень похож на параболу. Ну и эта парабола с плоской землёй является достаточно хорошим приближением для чугуниевых ядер.

Если посильнее выстрелить, сильнее чем с Первой Космической, элипс окажется достаточно большим, что бы ядро не задело поверхность земли.

Если ещё сильнее выстрелить, можно получить Вторую Космическую элипс перейдёт через параболу в гиперболу и ядро улетит в космос, если только случайно не заденет здание по дороге.

Дальше можно попробовать усложнить тем, что Земля это не шар, и она не одна (есть Луна ещё), но судя по откачаному воздуху это не нужно. Итак, ответ:

Кривая второго порядка (скорее всего эллипс, локально хорошо приближаемый параболой).

[klausnick.livejournal.com]

Парабола. Почему, не знаю, но нутром чую.

[one-gin.livejournal.com]

Вспомнился вопрос с военной кафедры - "По какой траектории летит снаряд, выпущенный из пушки" и правильный ответ на него - "По баллистической".

Что же касается ответа к задаче - если у нас Земля шарообразна, то это классическая задача о движении точечной массы в гравитационном поле другой точечной массы, поэтому в неподвижной системе координат (т.е., без учета вращения Земли) траектория - отрезок эллипса. Учесть вращение Земли, по идее, легко в параметрической форме. По-моему, так.

[wildej.livejournal.com]

Так, ну что у нас там действует. Ну во-первых, сила тяжести. Для начала примем ее как силу направленную к центру Земли. Тогда получим эллипс. Это если, конечно, чугунное ядро не полетело у нас сразу быстрей второй космической мимо Зимнего, а то относительно Земли получится парабола. Ну по началу, понятно. Потом куда-нибудь еще притянется.

Кстати, во-вторых, почему потом? Сразу и притянется. И Луной, и Солнцем. И этой, как ее, галактикой M404 тоже. Но по началу, конечно, притянется к гравитационным аномалиям вокруг. К Неве чуть поменьше, к гранитным плитам берегов - побольше. К залежам золотых и прочих металлических побрякушек внутри Зимнего, опять же. Так что нашему эллипсу поплохеет, конечно.

В-третьих, обратно, ядро у нас чугунное, а ну как на ней статика образовалась? Понятно, начнет притягиваться к контактному рельсу в метрополитене под Невой и к батарейке в мобильнике находящегося рядом зеваки, и все согласно Кулону. Вот тут-то наш эллипс вообще колбаситься начнет.

В-четвертых, кстати, мы стрелять днем или ночью будем? Потому что если днем, так еще и солнечным светом наше ядро будет сверху лупить-к Земле пригибать. Правда и снизу тоже - от воды отражаясь. Да и ночью света тоже хватает. И не только солнечного.

В-пятых, а относительно чего траекторию считать? Потому что пресловутый эллипс, он ведь относительно ядра земли получается, а Аврора вместе с пушкой, да и Зимний относительно этого центра вращаются с большой скоростью, да еще и скорее всего разной: Аврора ближе к северному полюсу, чем Зимний (это не точно: Зимний не точка, а Нева на там с северо-востока на юго-запад течет, так что может и наоборот получится), а потому вращается медленней. А потому и ядро тоже будет вращаться вокруг центра Земли медленней, чем Зимний. Так что если относительно дворца считать, это тоже придется учесть.

В-шестых... Ну в общем, дальше что-то лень стало продолжать =)

П.С. Исходный эллипс родом там же, где и в первом законе Кеплера - из закона всемирного тяготения и второго закона Ньютона. Ну точнее, не эллипс, а коническое сечение. А потому и парабола может получится, и прямая. Выкладки есть, например, здесь (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%8B_%D0%9A%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0)

[l-i-d-y-a.livejournal.com]

по параболле

[rrv-2008.livejournal.com]

Эллипс. Один из центров эллипса - Центр Земли. Траектория ядра часть эллипса - которая пересекается поверхностью Земли между "Авророй" и Зимним дворцом. :-)))

[dmytrish.livejournal.com]

Зависит от скорости ядра, если она меньше первой космической, то эллипс (который на очень малом участке может считаться приближением к параболе), иначе гипербола (точной параболой все равно не сможет быть). Небесная механика же.

[dmytrish.livejournal.com]

А вообще-то, если уже так обобщать, то нужно предусмотрительно убрать все небесные тела, которые могут повлиять своим притяжением, а также исправить неоднородности в объеме Земли. Поэтому это скорее будет какая-то сложная траектоида.

[signator.livejournal.com]

Разве не парабола???

[medl.livejournal.com]

По параболе. Выбираем систему координат так, что бы х был паралельно поверхности Земли, а у перпендикулярно х, направлена в космос. Тогда движение по оси х равномерное(воздух откачан), движение по вертикали с ускорением -g.

Но тут есть одно но - мы приняли, что Земля плоская

[gadyuka.livejournal.com]

Парабола. А объяснение находится в школьном учебнике, а из головы уже, за ненадобностью, самоустранилось :).

[justso123.livejournal.com]

всю сознательную жизнь думала, что парабола
нет, не выйдет из меня артиллериста

[sorrow53.livejournal.com]

сектор эллипса

[set-o-lopata.livejournal.com]

Боюсь показаться тривиальным, но траектория описывается коническим сечением. Дугой эллипса в очевиднейшем случае.

[rainaldo rossi (from livejournal.com)]

Чугунное ядро затонет в месте выстрела, навсегда перекрыв очередным "вороньим камнем" историческое русло Невы. "Аврору" унесёт взрывной волной на одно из нераспаханных полей нечернозёмной полосы России...