Задача на матожидание

[fregimus]

В некоей стране каждая семья по традиции имеет ровно одного ребенка-мальчика. Если в семье рождается девочка, то семья рожает следующего ребенка, и так далее, пока не родится мальчик, после чего семья перестает рожать детей. Вероятность рождения мальчика равна 1/2. Какова доля мальчиков в общем количестве детей в этой стране?

Строго вопрос следует переформулировать так: каков предел доли мальчиков, когда количество семей стремится к бесконечности, или, иными словами, каково матожидание доли мальчиков среди всех детей.

Комментарии не прячу, так что там могут быть решения; если хотите поломать голову, то заглядывать не торопитесь.

Comments

[sabotagecat.livejournal.com]

50%

[v-pychick.livejournal.com]

наверное, таки 1/2

[sabotagecat.livejournal.com]

Признавайся, ты тоже скрипт написал?

[spamsink]

Несколько меньше половины, т.к. смертность мальчиков, как известно, повыше смертности девочек.

[v-pychick.livejournal.com]

нет. имхо понятие "семья" тут введено для отвлечения глаз, важен лишь факт рождения ребенка. При бесконечном числе рождения вероятность мальчика 1/2

[don-alesandro.livejournal.com]

ну э ожидание будет около 1.

с другой стороны матожидание от числа есть число, значит будет ровно 1..

[sabotagecat.livejournal.com]

ты крутой!

[don-alesandro.livejournal.com]

я так понимаю тут идеальная система.

Если брать не идеальную то дисбаланс пойдет все равно на мальчиков.

[gest_hds]

0%
Ибо девочек у нас будет 0.5+0.25+0.125+...=1

[avkh.livejournal.com]

Коротко и со знанием дела сказала мама моей коллеги, врач-акушер : как ни рожай - всяко поровну выйдет.

[gest_hds]

Ошибся немного...
Если количество семей - это n, то
девочек будет 0.25n+0.25n+0.25n...
А мальчиков будет n
И их доля будет стремится к нулю.

[uncle-lex.livejournal.com]

Поровну их будет.

[gest_hds]

Нет, много ошибся.
1*0.25+2*0.125+3*0.0625... = 2
Значит мальчиков 1/3.

[gest_hds]

>.<
1/2
Теперь, кажется, точно всё.

[sima-korets.livejournal.com]

Половина. Каждая семья, родившая мальчика, выбывает, в следующем цикле то же самое. Количество семей устремляем к бесконечности, выбывшие не играют роли, среди остальных вероятность половина, и так далее.

[moisha-san.livejournal.com]

Поровну.
Мальчик будет всегда 1, а число девочек будет 1/2 + 1/4 + 1/8 +.... что в пределе тоже дает 1.
UPD:
Вру.
Число девочек будет пределом суммы N-1/2expN (0/2 + 1/4 + 2/8 + 3/16 + 4/32 + 5/64 +...)
Что тем не менее все равно стремится к 1.

[janatem.livejournal.com]

Задача в том, чтобы просуммировать ряд? Я, признаться, потратив минут пять, не смог и поэтому полез на альфу. Она дает ответ ln 2, что дает мне жирный намек о том, как самому доказать сей факт.

[janatem.livejournal.com]

Ой, я зачем-то складывал доли мальчиков, помноженные на вероятности. Что вроде никакого физического смысла не несет...

[rednyrg721.livejournal.com]

с вероятностью 1/2 будет один ребенок - мальчик
с вероятностью 1/4 будет два ребенка - девочка и мальчик
с вероятностью 1/8 будет три ребенка - две девочки и мальчик
...
с вероятностью 1/2^n будет n детей - (n-1) девочек и мальчик

мат ожидание числа мальчиков = 1
мат ожидание числа девочек = 1/2 * 0 + 1/4 * 1 + 1/8 * 2 + 1/16 * 3 = sigma (n/2^(n+1)), wolfram alpha говорит, что предел 1 (туплю и не могу сам доказать :(

значит, предел отношения - 1/2

[fregimus.livejournal.com]

В ряду надо отыскать копию этого ряда, умноженную на какой-то коэффициент, или возведенную в степень, или как-то иначе преобразованную. Если альфа говорит о логарифме, то, похоже, получается копия в какой-то степени. В этой задаче (если решать ее строго формально) такой ряд вылезать не должен.

Ну, например, S = 1/2 + 1/4 + 1/8 +... = 1/2 + 1/2(1/2 + 1/4 + ...) = 1/2 + 1/2 S => S = 1. Так многие ряды уделываются. Более сложные решаются через выражение, например, S², в котором вылезает опять же S.

[alex-bykov.livejournal.com]

Угу. Старая, но забавная задачка на условные вероятности и сумму сходящегося бесконечного ряда.

[fregimus.livejournal.com]

Запишите 2/8 = 1/4 + 1/4, 3/16 = 2/16 + 1/16, 4/32 = 3/32 + 1/32 и т. д., а затем перегруппируйте члены.

[fregimus.livejournal.com]

Ни одной девочки вообще, одни мальчики? Нет, что-то явно не то.

[fregimus.livejournal.com]

Если уже решали, попробуйте усложнить условие: пусть каждая семья рожает детей, пока не получит ровно двух мальчиков. Какое тогда будет МО доли мальчиков?

[fregimus.livejournal.com]

Акушеру по терверу — зачот!