Задача на матожидание

[fregimus]

В некоей стране каждая семья по традиции имеет ровно одного ребенка-мальчика. Если в семье рождается девочка, то семья рожает следующего ребенка, и так далее, пока не родится мальчик, после чего семья перестает рожать детей. Вероятность рождения мальчика равна 1/2. Какова доля мальчиков в общем количестве детей в этой стране?

Строго вопрос следует переформулировать так: каков предел доли мальчиков, когда количество семей стремится к бесконечности, или, иными словами, каково матожидание доли мальчиков среди всех детей.

Комментарии не прячу, так что там могут быть решения; если хотите поломать голову, то заглядывать не торопитесь.

Comments

[sabotagecat.livejournal.com]

50%

[v-pychick.livejournal.com]

наверное, таки 1/2

[sabotagecat.livejournal.com]

Признавайся, ты тоже скрипт написал?

[spamsink]

Несколько меньше половины, т.к. смертность мальчиков, как известно, повыше смертности девочек.

[don-alesandro.livejournal.com]

я так понимаю тут идеальная система.

Если брать не идеальную то дисбаланс пойдет все равно на мальчиков.

[don-alesandro.livejournal.com]

ну э ожидание будет около 1.

с другой стороны матожидание от числа есть число, значит будет ровно 1..

[fregimus.livejournal.com]

Ни одной девочки вообще, одни мальчики? Нет, что-то явно не то.

[gest_hds]

0%
Ибо девочек у нас будет 0.5+0.25+0.125+...=1

[gest_hds]

Ошибся немного...
Если количество семей - это n, то
девочек будет 0.25n+0.25n+0.25n...
А мальчиков будет n
И их доля будет стремится к нулю.

[avkh.livejournal.com]

Коротко и со знанием дела сказала мама моей коллеги, врач-акушер : как ни рожай - всяко поровну выйдет.

[fregimus.livejournal.com]

Акушеру по терверу — зачот!

[uncle-lex.livejournal.com]

Поровну их будет.

[sima-korets.livejournal.com]

Половина. Каждая семья, родившая мальчика, выбывает, в следующем цикле то же самое. Количество семей устремляем к бесконечности, выбывшие не играют роли, среди остальных вероятность половина, и так далее.

[alex-bykov.livejournal.com]

Угу. Старая, но забавная задачка на условные вероятности и сумму сходящегося бесконечного ряда.

[moisha-san.livejournal.com]

Поровну.
Мальчик будет всегда 1, а число девочек будет 1/2 + 1/4 + 1/8 +.... что в пределе тоже дает 1.
UPD:
Вру.
Число девочек будет пределом суммы N-1/2expN (0/2 + 1/4 + 2/8 + 3/16 + 4/32 + 5/64 +...)
Что тем не менее все равно стремится к 1.

[janatem.livejournal.com]

Задача в том, чтобы просуммировать ряд? Я, признаться, потратив минут пять, не смог и поэтому полез на альфу. Она дает ответ ln 2, что дает мне жирный намек о том, как самому доказать сей факт.

[janatem.livejournal.com]

Ой, я зачем-то складывал доли мальчиков, помноженные на вероятности. Что вроде никакого физического смысла не несет...

[rednyrg721.livejournal.com]

с вероятностью 1/2 будет один ребенок - мальчик
с вероятностью 1/4 будет два ребенка - девочка и мальчик
с вероятностью 1/8 будет три ребенка - две девочки и мальчик
...
с вероятностью 1/2^n будет n детей - (n-1) девочек и мальчик

мат ожидание числа мальчиков = 1
мат ожидание числа девочек = 1/2 * 0 + 1/4 * 1 + 1/8 * 2 + 1/16 * 3 = sigma (n/2^(n+1)), wolfram alpha говорит, что предел 1 (туплю и не могу сам доказать :(

значит, предел отношения - 1/2

[fregimus.livejournal.com]

Запишите 2/8 = 1/4 + 1/4, 3/16 = 2/16 + 1/16, 4/32 = 3/32 + 1/32 и т. д., а затем перегруппируйте члены.

[poslednii-krot.livejournal.com]

Интересная задача. Тупил над ней полчаса, пока не понял, что единственное условие, влияющее на ответ - это вероятность рождения мальчика :-) Все остальное - для отвода глаз. Культурные традиции могут повлиять на количество рождений, но не на соотношение полов при рождении. Поскольку требуется найти долю мальчиков среди уже родившихся детей - то ответ 1/2, что явным образом написано в условии :-)

[grey-horse.livejournal.com]

Тоже гонял скрипт полчаса, дошел до перебора 100.000.000 семей.

[zlyuk.livejournal.com]

>> Вероятность рождения мальчика равна 1/2. Какова доля мальчиков в общем количестве детей в этой стране?
50% :->)
всегда можно усложнять решение, но мне кажется, что если в задаче нет условной вероятности и пересчёта по байезовой формуле, она всё-таки проще решается интуиитивно.
но вот в индии и китае мальчиков существенно больше половины. как объяснить?

[maxim-mil.livejournal.com]

Тем, что в реальности вероятность рождения мальчика не 50%, а 51-52%, а также абортами.

[http://users.livejournal.com/_winnie/]

Красивая формулировка.

[vitaliborovikov.livejournal.com]

В первом поколении рождается половина мальчиков и половина девочек. Мальчики из дальнейших расчетов исключаются. Следующее поколение составляет 0.5 от первого, но мальчиков в нем опять же половина, и т.д. В итоге мат. ожидание равно 0.5 от общего количества детей.

[yarryozzo.livejournal.com]

Математическая вероятность зачать 8 мальчиков подряд равна математической вероятность зачать 8 девочек подряд. Но реализуется только вариант с девочками, то есть некоторые комбинации, в которых мальчиков больше, чем девочек (даже больше 1) из итога исключаются. Это значит, что мальчиков в итоге будет меньше, чем девочек. Разве не так?

[pphantom.livejournal.com]

А в чем разница с обычной ситуацией? Совершено несущественно, были ли дети у этой семьи раньше или нет, так что можно для простоты считать, что у каждой семьи ровно один ребенок. Соответственно, получается та же 1/2.

[pphantom.livejournal.com]

Да, это было не очень оригинально. :) Тогда уж добавлю, что ответ один и тот же при любом числе мальчиков, после которых деторождение останавливается, и по той же самой причине - у совокупности бесконечного количества семей нет памяти, после рождения каждого одного ребенка ситуация не меняется.

[zwilling.livejournal.com]

Решение для предположения, что каждая семья уже родила своего мальчика.
1. Вероятность того, что n-й ребёнок окажется первым мальчиком (и, следовательно, последним ребёнком в семье), равна (1/2)ⁿ.
2. Тогда в данной стране при числе семей, стремящемся к бесконечности, (1/2)ⁿ семей имеет n детей.
3. Число мальчиков в стране равно числу семей m, а общее число детей приблизительно равно сумме ряда Σ_n=1^∞(n/2ⁿ), умноженной на m, то есть равно 2m.
4. Таким образом, доля мальчиков в стране равна m/2m = 1/2.
Наличие в стране семей, в которых пока родились только девочки, должно, по идее, увеличивать долю девочек. Вот насколько - этого я сказать не берусь. Кажется, это должно зависеть от длительности промежутков между зачатиями: чем дольше в среднем семья решается на следующего ребёнка, тем больше семей находятся в этом "неравновесном" состоянии.

[gdt.livejournal.com]

а ответ E=2 должен казаться парадоксальным из за "отсутствия симметрии"?

[fregimus.livejournal.com]

Мне бы он казался парадоксальным уже из-за того, что он больше 1...

[fiviol.livejournal.com]

1/2
Очевидно, что в обычной стране, где детей рожают сколько получится, матожидание 1/2. А теперь будем считать, что в этой обычной стране почему-то принято считать, что после каждого рождения мальчика старая семья распалась и тут же превратилась в новую семью - которая просуществует до следуюшего рождения мальчика (либо до смерти матери) и т.д. Получим ровно ситуацию в стране из условия задачи.

[v1adis1av.livejournal.com]

По рекурсии, 1/2.

[yarryozzo.livejournal.com]

Обозначим рождающихся девочек буквой Ж , а мальчиков — М.
Первое поколение народа (с вероятностью 1:1) даёт варианты «Ж» и «М».
Второе поколение (с вероятностью 1:1:2, учитывая первого ребёнка-мальчика, который родился с 50% вероятностью) — «ЖЖ», «ЖМ» и «М».
Третье поколение (1:1:2:4) — «ЖЖЖ», «ЖЖМ», «ЖМ», «М».
…
Поколение N — 1 : 1 : 1 … 1 (всего N единиц) : 2 : 4 : 8 : … : 2-в-степени-N — «Ж»×N, «Ж»×(N–1) и «М», «Ж»×(N–2) и «М», … , «Ж»×(N–N) и «М».

Если в реальном мире подавляющее большинство формируют пары, где скажут «горшочек, не вари» после рождения четвёртого ребёнка (N=4), то среднее количество мальчиков будет составлять 40%. Если 3 — то 50%.

Ну а при достаточно большом N (16 — это реально МНОГО детей, когда задача уже не имеет физического смысла) мы получим пропорцию 1:1:1:1:1:1:1:1:2:4:8:16:32:64:128:256:512:1024. При этом пропорция «М»/»Ж» будет равна 16/16+15+...+1 = 2N/(N+1)N = меньше 12%.

Если же фертильности хватит для того, чтобы любая баба могла родить ЛЮБОЕ число девочек, чтобы обеспечить себе одного мальчика, то и предел будет стремиться к 1/N, где N стремится к бесконечности.

[gdt.livejournal.com]

вы ошибаетесь. смотрите:

вероятность рождения мальчика равна 50% (будем писать p(М)=1/2)
далее,
p(ЖМ) =1/4
p(ЖЖМ) =1/8
и вообще, можно заметить, что вероятность того, что к моменту остановки число детей X в семье будет равно n есть
P(X=n)=1/(2^n)

Можно поставить вопрос -- а сколько детей в семье будет "в среднем"? На него можно ответить так. Пусть у нас есть "очень много" семей, N. Тогда примерно у N/2 семей будет 1 ребенок, у N/4 -- 2 ребенка у N/8 -- 3 ребенка и т.д. Т.е., общее количество детей будет:
S = N/2 * 1 + N/4 * 2 + N/8 * 3 + ... + N/(2^k) * k + ..
а в среднем на семью придется
E = S / N = 1/2 + 2/4 + 3/8 + ... + k / (2^k) + ...
Если вы просуммируете этот бесконечный ряд, то получится 2. Т.е., в среднем в семье будет 2 ребенка. Понятно, что это мальчик и девочка, т.е., мальчиков столько же, сколько и девочек.

Вот такая величина
E = p(X=x_1)*x_1 + p(X=x_2)*x_2 + ...
называется в математике матожиданием случайной величины X. Смысл ее -- "среднее значение" этой величины. Здесь суммирование проводится по всем возможным значениям величины X. В нашем примере нужно просуммировать бесконечный ряд, потому что число детей в семье может быть любым (мы, конечно, о биологии не задумываемся).

А вообще, эту задачу решить гораздо легче, заметив, что в "первом поколении" будет половина мальчиков и половина девочек, во 2-м та же картина, в 3-м та же. То есть, девочек будет столько же, сколько мальчиков.

У дочки в пятницу, 13, в школе контрольная по математике, как раз на начала теорвера -- комбинаторику, матожидание, дисперсию, простые дискретные распределения. Натаскиваю ее потихонечку. Вот на вас потренировался :) Вам было понятно?

[levonty77.livejournal.com]

Похоже что 0.5

[yuriy kulikov (from livejournal.com)]

В условии задачи не оговорено, однако если учитывать продолжительность жизни, здоровье и т.д., то слдеует ограничить количество детей в семье. Тогда все равно поровну :-)