Вещественные числа

[fregimus]

Если вы еще не читали рассказа akukleva о вещественных числах и реальности, то вы, полагаю, немало упустили! Для меня вещественные числа всегда представляли собой загадку. Чем дольше я о них думаю, тем менее я их могу себе представить. Сложная тема.

Я хочу рассказать о двух основополагающих в науке абстракциях, которые вызывают сомнения у людей, тяготеющих к объективизму и другим формам жесткого реализма, отказывающего в состоятельности любым понятиям, не проистекающим напрямую из объективных свойств наблюдаемой физической реальности. Я постараюсь как можно более детально объяснить, почему обе эти абстракции не смотря на свою эфемерность совершенно необходимы для анализа и понимания этой самой объективной реальности. Речь пойдёт о бесконечности и о точке.

Comments

[cobetbi.livejournal.com]

Да, удивительно что вы про деятеля только что узнали. Мне он вообще нравится. Уникальное сочетание ума (может быть наибольшего из всех кого в жожо знаю (даже меня он умнее чуть-чуть)) с какой-то предельной простотой общения.

Но рассказ мне совсем не понравился, данный деятель мог лучше написать. Я бы даже громко сказал, что "поверхностно" там всё. Правда конкретно что-то критиковать я никак не осилю, сложно очень.

[am-tiger-a.livejournal.com]

Все натуральные числа «влезают» в вещественную прямую, но не наоборот. Ниже ещё подробно будет доказано, что это так. Вполне может быть у каких-нибудь величин ёмкость спектра бесконечная, но не совпадает ни с ёмкостью натурального ряда, ни с ёмкостью вещественной прямой. Существование таких величин ничему не противоречит, однако на данный момент таких величин мы не знаем и их существование представляется очень сомнительным.

Вам не кажется, что это утверждение автора, мягко говоря, противоречит теореме Кантора? Или и по-вашему тоже мощность булеана R совпадает с мощностью R?

[fat-crocodile.livejournal.com]

Я думаю, автор знает о теореме Кантора, а в процитированном отрывке ключевым является слово "величин". Оно не было толком определено, но это же и не учебник.

[am-tiger-a.livejournal.com]

Как раз пассаж "про величины" автору простителен, как некая неаккуратность. Так-то следовало бы говорить о совокупностях или наборах (конечно, лучше всего множествах) величин. Но никак не об отдельных величинах, потому что уместить в счётном множестве можно любые трансцендентные величины. Просто не все сразу.

[deminded.livejournal.com]

Вещественные числа - это производное от дискретного характера нашего мышления, которое породило сначала натуральные числа, а потом на из основе пытается создать вещественные.

В том плане, что весь математический язык строится на исчислении, а исчисление базируется на счете, а счет - на выявлении отличия. Исходный бит информации - это различимость состояния, то есть отличие одного состояния от другого. Это уже дает нам единицу - натуральное число. Натуральность базового числа следует из определения самой операции счета, измерения: различие должно быть. Вещественные числа - это, наоборот, следствие попытки вернуться от натурального исчисления к непрерывной природе вселенной. Именно поэтому их нельзя объять разумом - разум оперирует качественным отличием, а вселенная - геометрическим сопоставлением....

[am-tiger-a.livejournal.com]

В том плане, что весь математический язык строится на исчислении, а исчисление базируется на счете, а счет - на выявлении отличия.

А алгебра это по-вашему что тогда такое?

Исходный бит информации - это различимость состояния, то есть отличие одного состояния от другого. Это уже дает нам единицу - натуральное число.

Единица определима только относительно алгебраической операции. Так, относительно сложения она может и единица, а вот относительно умножения единица тот же нейтральный элемент (т.е. то же, что и ноль относительно сложения).

Натуральность базового числа следует из определения самой операции счета, измерения: различие должно быть.

Множество натуральных чисел, конечно, порождается "счётом" (т.е. это циклическая полугруппа относительно сложения с порождающим элементом равным 1), но кто сказал, что порядок обязан быть аддитивным? Порядок вполне себе может быть и мультипликативным (т.е. базовой операцией можно принять не сложение, а умножение).

Вещественные числа - это, наоборот, следствие попытки вернуться от натурального исчисления к непрерывной природе вселенной.

В этом смысле "непрерывности" вполне доставало и рациональных чисел. Иное дело, что переход к вещественным числам случился в тот период, когда теоретически сложно было понять, что иррациональные числа бывают алгебраическими, а бывают трансцендентными. Иначе, нужды в большинстве случаев вполне покрывались бы рациональными алгебраическими числами, которые (в случае аппроксимации трансцендентных функций рядами) дают вполне достаточный арсенал и ощущение "непрерывности" :)

Именно поэтому их нельзя объять разумом - разум оперирует качественным отличием, а вселенная - геометрическим сопоставлением....

А что такое "геометрическое сопоставление" необъятное разумом? Топологию разум вроде бы вполне себе способен уразуметь :)

[antihydrogen.livejournal.com]

Спасибо за ссылку. Очень понятное объяснение, хотя в части насчет квантовой механики мысль автора занеслась куда то не туда.

[fregimus.livejournal.com]

Да почему не туда? Это фейнмановская интерпретация: до того, как спин измерен, он имеет все возможные значения сразу. Мы ж его по всем траекториям интегрируем, по вещественному континууму. Или Вы не об этой части?

[antihydrogen.livejournal.com]

Нет, у меня по вопросу отсутствия нетривиальной динамики у систем с дискретным спектром http://akuklev.livejournal.com/1087886.html?thread=7279502#t7279502, по которому, как я позже заметил, спрашивали его и вы. Ну еще и невычислимость отношения радиусов меня несколько смутила.