Возьмите интегральчик!

[fregimus]

Друзья, что-то я никак не соображу, куда мне смотреть. Вопрос возник из функции (плотности?) вероятности, определенной только для рациональных чисел.

Если у нас есть конечное число событий, то сумма их вероятностей должна быть равна 1. Если множество событий континуально-бесконечное, то мы отображаем пространство событий на вещественные числа, и говорим, что в этом случае интеграл функции плотности вероятности по всей вещественной оси равен 1. Но как быть со счетно-бесконечными пространствами событий? В распределениях с целым носителем к 1 сходится сумма бесконечного ряда, но как быть с рациональными?

Comments

[janatem.livejournal.com]

Во-первых, для любого счетного носителя можно выразиться пределом конечной суммы. Правда, для рациональных чисел это может быть технически не очень удобно — придется попробовать разные перечисления, чтобы найти то, которое легче вычисляется.

Во-вторых, наверняка существуют обобщения интеграла для неконтинуальных множеств, которые скорее всего сводятся к предыдущему пункту.

Пример в студию!

[fiviol.livejournal.com]

"Вероятность, определенная для рациональных чисел" - речь, по-видимому, о случайной величине X, принимающей рациональные значения.
Не очень понятно, что значит "как быть?".
Случайная величина задается возрастающей функцией распределения, определяемой обычным путем: F(x) = P(X < x). О плотности распределения говорить бессмысленно, если определять плотность как производную от функции распределения.
Условие "сумма вероятностей" равна 1 состоит в том, что предел F(x) при x стремящемся к плюс бесконечности равен 1 (а при х стремящемся к минус бесконечности - равен 0).

[toothedgoo.livejournal.com]

В теории вероятностей вообще под интегралом по умолчанию имеют в виду интеграл Лебега, а не интеграл Римана. Разница в том, что в интеграле Лебега функция кромсается по горизонтали. http://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_integration
PS Даже индикаторная функция множества рациональных чисел (равна 1 для рациональных, равна 0 для остальных, нигде не непрерывна) интегрируема по Лебегу.

[fat-crocodile.livejournal.com]

> PS Даже индикаторная функция множества рациональных чисел (равна 1 для рациональных, равна 0 для остальных, нигде не непрерывна) интегрируема по Лебегу.

и значение интеграла 0, если мне память не изменяет.
отличный результат для плотности вероятности.

[Шура Люберецкий (from livejournal.com)]

Хмм, а в чем сложность? Рациональных чисел счетное количество, поэтому можно приписать каждому из них вероятность так, чтобы сумма ряда сошлась к единице. Можно рассмотреть то же самое, как плотность вероятности - устроив что-то типа функции Дирихле, только принимающей в рациональных точках значения вероятности этих рациональных чисел. Наконец, эту штуку можно проинтегрировать, по Лебегу, разумеется - и получить функцию распределения. Плотность - та самая, нехорошая, похожая на функцию Дирихле - будет производной этой функции, только не в классическом смысле, а в смысле производной Радона-Никодима.

[Шура Люберецкий (from livejournal.com)]

Блин, не проснулся еще, понял, где облом. Без обобщенных функций тут не обойтись (иначе не определить плотность), а как к ним относятся в теории вероятностей - хз.

[janatem.livejournal.com]

Обобщенные функции хорошо дружат с вероятностной мерой. Ведь никого не смущают вероятностные пространства вроде такого: вероятность попасть в точку равна p>0 и вероятность равномерно размазаться по отрезку равна q. Здесь плотность вероятности будет, очевидно, обобщенной функцией.

[fregimus.livejournal.com]

Ага, хорошо.

[fregimus.livejournal.com]

Спасибо, над обобщенными функциями я подумаю, как способом вложить рациональный аргумент в R.

[aamonster.livejournal.com]

Дык вроде сказали: если это функция вероятности - она монотонна, и недостающие значения вычисляются, определена всюду. А плотность вероятности задать так, чтобы она была ненулевой только на рациональных числах и везде конечна, кмк, невозможно.

[fregimus.livejournal.com]

Задать нельзя, просто она на них имеет смысл, а на нерациональных не имеет. Занулить ее в иррациональных (домножив на ф. Дирихле) и проинтегрировать по Лебегу не интересно, ноль получится. Нужно какое-то правильное интегрирование.

[alisa-lebovski.livejournal.com]

В данном случае нет никакой разницы, сосредоточено распределение на множестве рациональных или целых чисел. Это дискретное распределение. У него нет никакой плотности, а есть счетный набор вероятностей отдельных значений, и эти вероятности в сумме дают единицу. Если же понимать плотность в обобщенном смысле, то будет ряд из дельта-функций.

[fregimus.livejournal.com]

Ну, дельта-функции потребуется, если его вложить во множество вещественных и потребовать, чтобы интеграл был равен 1.

Сумму по целым k можно превратить в интеграл по x, если заменить аргумент k на floor(x), то есть «размазать» каждое значение функции в прямоугольник. Ширина его будет равна 1, на что и домножится. А вот с рациональными — не знаю, можно ли так. Что все dx одинаковой «ширины», показать легко, а вот что рациональные «разбрызганы» среди вещественных равномерно — как-то неочевидно. Вот в этом направлении у меня что-то ничего не соображается.

[akuklev.livejournal.com]

Если ряд сходится абсолютно, то он сходится при любой перестановке своих значений, иначе говоря если лебегов интеграл функции на счётном множестве существует, то он определен однозначно. Так что, пронумеровать рациональные числа произвольным способом и вычислить сумму ряда, проверить сходится ли сумма в абсолютном смысле.

[fregimus.livejournal.com]

Посмотрите, пожалуйста, на этот комментарий: http://fregimus.livejournal.com/232498.html?thread=6551090#t6551090

[akuklev.livejournal.com]

Просто не надо смешивать тёплое с мягким. Есть два совершенно разных по сути распространённых источника меры на пространствах: количество элементов и однородность по отношению к действию какой-то группы сдвигов.
1) Если у нас пространство событий по природе таково, что на него свободно и транзитивно действует группа сдвигов G (чаще всего, R^n, но вообще это может быть любая локально-компактная группа), то на пространстве по-существу единственным образом определяется мера, инвариантная по отношению к сдвигам. (Мера Хаара) Примеры таких мер: длина на действительной прямой, площадь на плоскости, сфере или гиперболоиде, объем в пространстве. Лебегово интегрирование по этим мерам по-существу совпадает с Римановым: оно в существенной степени учитывает, что подлежащее пространство однородно и имеет какую-то жесткую структуру.
2) Если у нас пространство счётное, то превосходно работает counting measure, т.е. мера m такая что m(S) просто считает сколько элементов во множестве S. Для такого measure space интеграл лебега это просто абсолютное суммирование ряда. Оно работает абсолютно одинаково что с натуральными числами, что с рациональными, что с чёртом лысым. При этом то, что рациональные числа образуют разрешимое нормированное однородное линейно-упорядоченое пространство и являются элементарным полем характеристики 0, тут совершенно не учитывается.

Мы можем вложить рациональные числа в действительные, и интегрирование функции на рациональных числах с использованием counting measure не будет иметь абсолютно ничего общего с интегрированием какой-то ассоциированной функции на всех действительных числах с использованием длины в качестве меры. Длина-то смотрит на то, насколько близки друг к другу элементы множества, а количественной мере это совершенно пофиг. Если взять интегрируемую на действительных числах непрерывную ненулевую функцию f и ограничить её на рациональные числа, результат заведомо не будет интегрируем в смысле счётного интегрирования: для такой функции заведомо найдется открытый интервал I и положительная константа eps, такие что f(x) > eps на I; в открытом интервале бесконечное число рациональных чисел, так что её сумма как ряда там превышает eps*\infty, т.е. бесконечна. То есть, ни одна интегрируемая рационально функция на рациональных числах не может быть дополнена до непрерывной функции на действительных. Любое расширение такой функции на действительные будет почти всюду прерывисто.

[janatem.livejournal.com]

Да, всё правильно насчет разных источников меры. Сам собирался про это написать.

Но зачем искать продолжение меры на R в виде непрерывной функции плотности? Наивное продолжение может представлять собой сумму дельта-функций. Можно ли построить что-нибудь изящней, не знаю. (Например, добиться, чтобы в иррациональных точках не обязательно везде были нули, а в рациональных — только конечные значения.)

Предлагаю такую конструкцию. Пусть на рациональном подмножестве отрезка [0,1] задана следующая мера: для нечетных a, и ноль в остальных местах. (Если я нигде не проврался, эта мера должна получиться отнормированной.) Тогда продолжение меры может выглядеть так:


Аналогично строится продолжение для любой меры, заданной поточечно на рациональном подмножестве.

[akuklev.livejournal.com]

> Но зачем искать продолжение меры на R в виде непрерывной функции плотности?

Я не меру продолжал, а интегрируемую функцию на рациональных числах. Хотел просто проиллюстрировать, что интегрирование в смысле суммирования ряда это нифига не интегрирование функции на "рациональной части действительной прямой". А ваша конструкция меры вполне работает, но я не вижу, чем она примечательна.

[termometr.livejournal.com]

че-то я слышал про этот прикол. типо парадокс несуммируемости нулей в единицу.

[fregimus.livejournal.com]

Сумма нулей в военное время может достигать невероятных значений.