Столкновения с бесконечностью

[fregimus]

Демон Максвелла садится за клавиатуру и нажимает клавиши: сначала А, через 1/2 секунды — Б, через 1/4 — опять А, через 1/8 — Б, через 1/16 — опять А, и так далее.

Сумма геометрической прогрессии 1/2+1/4+1/8+1/16+… = 1. Это значит, что демон Максвелла закончит нажимать клавиши через секунду. Вопрос: какую клавишу он нажмет последней, А или Б?

Это не будет ни А, ни Б. Демон нажмет клавиши бесконечное число раз, а значит, вопрос эквивалентен, например, вопросу о том, четное или нечетное самое последнее натуральное число. Вопрос лишен смысла, потому что последнего натурального числа нет. Интуиция отказывается принять этот ответ: ведь демон нажимал на кнопки всего секунду, а потом улетел. Ведь последней он все-таки нажал одну из них!

Если этот вопрос покажется слишком искусственным, вот вам второй. Рассмотрим функцию f(х) = cos х + cos πх. Эта функция ограничена интервалом [−2; +2], потому что каждое из слагаемых (в мирное, во всяком случае, время) ограничено [−1; +1]. Более того, у функции есть локальные максимумы и минимумы: «ямы», откуда нельзя упасть, а надо только выбираться — минимумы, а «пики», с которых можно падать вниз, а вверх забираться уже некуда — максимумы.

 

Вопрос: какой самый высокий из пиков и самая глубокая из ям? Самый высокий пик мы видим при х=0: значение функции равно 2, а больше оно быть не может. А какой самый глубокий минимум?

Минимум одного из слагаемых, функции cos х достигается при значениях х=π(2n+1), где n любое целое число, то есть при значениях аргумента …−3π, −π, π, 3π, 5π… Все эти минимумы достигают ровно −1. Минимумы второго слагаемого, функции cos πх тоже равны −1, только достигаются они при значениях аргумента х, равных х=2m+1, где m целое, то есть …−3, −1, 1, 3, 5… Чтобы получилось …−2, нужно, чтобы оба минимума точно совпали.

Вот только точно они никогда не совпадут. Если мы предположим, что для каких-то m и n π(2n+1)=2m+1, то тогда получится что π=(2m+1)/(2n+1), то есть равно дроби, отношению двух целых чисел. Такие числа называются рациональными. Но мы-то знаем, что π — иррациональное число, так что этого не может быть. Значит, пики это никогда и не совпадут.

 

Давайте посмотрим, как приближается к −2 наша функция в некоторых точках. Вот на этом графике, около х=3, разве не равна эта функция −2? Нет, точное вычисление дает f(х)= −1.990909 при х=3.012997. Еще две самых низких точки «ям» около х=41 и х=47 имеют точные значения f(х)= −1.988498 при х=40.98539 и f(х)=−1.993038 при х=47.01138. Нет, все-таки она не достигает −2 — можно сказать, что чуть-чуть, но в математике и «чуть-чуть» бывает очень много!

А насколько близко они могут совпасть? Тут мы получаем интересный ответ: как угодно близко. Это означает, что для любой «ямы» которая не достигает глобального минимума −2 на любое сколь угодно малое положительное число ε, найдется яма, которая будет еще глубже (а, значит, и бесконечно много таких ям — для каждой из них найдется еще, чуть глубже нее, и так далее). Отсюда следует, что мы можем находить все более и более глубокие минимумы, достигая в пределе глубины −2. Получается, что глобальный минимум нашей функции равен −2.

А при каком значении аргумента х достигается этот минимум? А вот на этот вопрос ответ тот же, что и на первый: нет такого значения. Как же так: минимальное значение функции есть, значит, и аргумент при этом какой-то? Увы, нет. Можно найти несколько значений, при котором функция будет сколь угодно близка, но все-таки отличаться от −2. А вот чтобы добралась до него — нет, такого значения мы не найдем. Но если перебирать бесконечно много минимумов одного слагаемого (а они «всего-навсего» счетно-бесконечны), вот тогда последний из них…

Эти же рассуждения верны и для любого другого иррационального множителя при аргументе одного из косинусов. Это не обязательно π: подойдет и е, и √2  — рассуждения не изменятся от этого. Глобальный минимум по-прежнему будет равен −2, а найдем мы его… нигде не найдем!

Злые шутки играет с интуицией бесконечность, правда?

Comments

[oaristes.livejournal.com]

Спасибо, темному филологу приятно читать :)

[inkogniton.livejournal.com]

до того, как я открыла Ваш ответ на первый вопрос, я чуть не обалдела - неужели кто-то ответит А или Б - потом увидела и успокоилась:) помните я говорила про то, какой эффект произвело на меня Канторово множество? Так вот, когда я студентам рассказываю алгоритм построения и спрашиваю "сколько там", на их взгляд, осталось чисел - я стабильно слышу ответ (студенты не математики) - остались только рациональные числа - они основывают свой ответ именно на интуиции, которая совершенно неверна... Когда я говорю, что то, что осталось эквивалентно тому, с чего начинали (по "количеству") обычно наступает тишина минут на 5 :) После этого, обычно, они начинают понимать, как красива может быть математика :)

[darth-vasya.livejournal.com]

Р. Кубо, "Статистическая механика":

Второй закон термодинамики отрицает возможность существования демона Максвелла. Возможно, вам удастся найти демона, который начнет необычайно тонкую работу по разделению молекул, проходящих через отверстие. Но он никогда не сможет продолжать свою работу бесконечно долго. Вскоре он ослепнет, заболеет и прекратит свою деятельность. Тогда вся система, молекулы газа и сам демон снова придут в состояние теплового равновесия, исчезнет разность температур, однажды созданная демоном, а у демона начнётся лихорадка с температурой, равной температуре газа.

Интересно, как бы ответили на ваш вопрос интуиционисты :)

[krajn.livejournal.com]

Я люблю сложить на правой руке большой и средний палец колечком - и спросить:
- Это "О-о" или "ноль"?
Кстати, на первую задачу:
- Утверждаю, что в последний раз он нажмет обе клавиши одновременно. Во всяком случае, в одном из миров.

[inkogniton.livejournal.com]

не знаю почему, но Ваш комментарий напомнил мне о замечательной шутке - когда в зале расставили мальчиков по одну сторону, девочек по другую; они идут навстречу друг другу так, что каждый следующий их шаг по размеру равен половине предыдущего. Затем у математика, физика и инженера спрашивают когда они встретятся.... Вот в этом и есть, наверное, разница мышления....

[darth-vasya.livejournal.com]

а можно собсно окончание шутки? в коллекцию

[inkogniton.livejournal.com]

математик, естественно, отвечает, что никогда - то есть в бесконечности; физик отвечает, что после определённого количества экспериментов они будут достаточно близко, чтобы можно было пренебречь расстоянием между ними; инженер отвечает, что они встретятся ровно тогда, когда это будет необходимо для решения поставленной задачи - вне зависимости от количества шагов (ответ инженера варьируется в разных вариантах;))

[janatem.livejournal.com]

Слова "глобальный минимум/максимум" уже зарезервированы; для описываемых понятий есть специальные слова "супремум" и "инфимум" (а также их синонимы "точная верхняя/нижняя грань").

[inkogniton.livejournal.com]

ой, как здорово - а то я не знала делать замечание или нет - не знала так ли называются эти понятия по-русски...только я бы сказала точная недостигаемая верхняя/нижняя грань.... а это официальные русские термины? (я не про супремум/инфимум)

[janatem.livejournal.com]

Да, официальные (кроме слова "недостигаемая"). У нас в лекциях так было; кроме того: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%83%D0%BC

[inkogniton.livejournal.com]

интересно - а в иврите и английском употребляют только супремум/инфимум....

[janatem.livejournal.com]

Отчего ж? В английском тоже употребляют: "...is also referred to as the least upper bound, lub or LUB." http://en.wikipedia.org/wiki/Supremum

[inkogniton.livejournal.com]

почти нет - преподавала эти курсы и по-английски тоже - оно есть, но практически не употребляется - говорится инфимум/супремум...

[inkogniton.livejournal.com]

и даже в этом варианте - оно лучше отражает истинный смысл, нежели русская формулировка - на мой взгляд.... мне в русском варианте мешает слово "точная" - очень режет глаз....

[janatem.livejournal.com]

Слово "точная" вовсе не лишнее; в данном случае -- это эквивалент "least/greatest".

Более того, в нашем курсе супремум/инфимум вводились через понятие "(просто) верхняя/нижняя грань", т.е. любое (не обязательно самое малое) число, которое не меньше всех элементов множества.

[inkogniton.livejournal.com]

ну да, таким же образом я это объясняю студентам :)

[inkogniton.livejournal.com]

ой, плохо прочитала - но это же не совсем верно - это не инфимум/супремум, а просто some bounds.... инфимум/супремум это достаточно конкретные bounds....

[fregimus.livejournal.com]

Пожалуйста. А какие-то места показались непонятными? Только Вы все честно как на самом деле скажите, а то я так никогда и не научсь! :-)

[fregimus.livejournal.com]

Да, это я понимаю, но ведь я зачем-то здесь эту задачу рассматривал. С наличием предела интуиция не спорит, а с отсутствием глобального минимума уже может (ведь если есть много локальных минимумов, должен быть и самый-самый минимум).

[fregimus.livejournal.com]

Просто числа на оси такие маленькие, что их даже родная мама разглядеть не может! :-)

[fregimus.livejournal.com]

Ответ инженера!

[inkogniton.livejournal.com]

только если речь о чём-то ограниченном.....вполне возможна ситуация, когда есть много всего локального и, тем не менее, всё убегает в бесконечность, начиная с какого-то места....

[aamonster.livejournal.com]

С первым вопросом есть более красивая формулировка задачи:
Человек выходит из пункта А в пункт Б (АБ = 5 км) со скоростью 5 км/ч. Вместе с ним выбегает собака - со скоростью 15 км/ч. Убегает вперед, добегает до Б, бежит обратно к человеку, обратно до пункта Б и так далее.
Вопрос: сколько пробежит собака, когда человек придет в пункт Б?
Когда жертва отвечает на этот вопрос (некоторые начинают считать сумму последовательности, некоторые соображают, что ответ примитивен) - спрашиваем, в какую сторону она в этот момент будет бежать.

[fregimus.livejournal.com]

Ага, можно и так.

Привет математикам от физиков!

[parusnik.livejournal.com]

Про Максвелла
1. Что значит "нажмет клавишу"? Если это подразумевает успешное ее срабатывание, то есть ограничение от компа. Тут нужно учесть быстродействие клавиатуры, защиту от двойных и случайных нажатий, и т.д. В результате, если у него перед этим безумным нажиманием абабаба был открыт "блокнот" - то количество символов будет ограниченным, и будет последний из них. Вы имеете полное право считать последнее сработавшее нажатие последним.
2. Если вам кажется, что несработавшие нажатия тоже надо считать - прийдется лезть еще чуть дальше. Дело в том, что возврат клавиши в начальное положение происходит не бесконечно быстро, а за доли секунды. И я сомневаюсь, что клавиша, нажатая в момент времени t, будет уже не нажатой в момент времени t + 0,001с .
3. При бесконечно быстром отжатии клавиатуры есть следующий момент - чтобы клавишу конкретной массы 1 г сдвинуть на 0,3 см за 0,001 с , к ней надо приложить силу.. столько-то (лень считать). Чем быстрее надо нажать - тем больше необходимая сила. И не надо доходить до бесконечности чтобы раздолбать клавиатуру.

Re: Привет математикам от физиков!

[ytt.livejournal.com]

с днем рождения, лёня! :)

[black [lj.rossia.org] (from livejournal.com)]

Нечеткие мат.формулировки типа "Сумма геометрической прогрессии 1/2+1/4+1/8+1/16+. = 1" - это как раз для школьников, челенджи-ху*ленджи всякие.
В случае нормальной(правильной) постановки задачи с определением типа "...суммой ряда является значение бесконечно близкое к 1" ответ логически очевиден.

[powerbar.livejournal.com]

Answer: the keys A and B will be pressed simultaneously by definition of simultaneously: see below. The classical version of this problem is:
Two trees A and B are 1 mile apart, a fly goes with speed v from A to B, back with 2v, again from A to B with 4v and so on. How long (T=?) one has to wait till the fly is on both trees simultaneously? That is, if at T the fly is on A, then at T+epsilon it is on B for any no matter how small epsilon.
Priol'nyj zhurnal, frendimsja?