Медитация над медитацией на горе

[fregimus]

Открываю комментарии с вашими ответами к задаче. Спасибо всем, кто откликнулся на мою просьбу: пришло почти 100 ответов! Задача совершенно несложна, но чрезвычайно интересна тем, что решают ее существенно разными путями. Мне известны три способа такого решения. Все три представлены в ответах, а четвертого, к сожалению, не появилось. Три этих пути таковы.

Первый, путь от обыденного мышления, основан на мысленном совмещении путей двух монахов в разные дни. Если монах идет себе навстречу, спускаясь с горы, то он встретит себя поднимающегося. Точка встречи и будет искомой. Это самое простое и красивое рассуждение из трех.

Второе решение графическое. Рисуются графики высоты монаха в зависимости от времени дня. Поскольку и подъем, и спуск происходили в течение светового дня, то один график будет спускаться от полной высоты горы до уровня подножия, а другой, наоборот, будет подниматься от последнего к первому в том же интервале времени на оси абсцисс. График следует без разрывов (монах не телепортируется), следовательно, графики непременно пересекутся.

Третий путь еще более абстрактный. Пусть f(t) высота монаха в день подъема, а g(t) высота в день спуска. Определим d(t)=f(t)−g(t) — это будет разница высот положения монаха во время дня t. Утром d(t_у)<0, так как поднимающийся монах был у подножия, а спускающийся на вершине. Вечером знак d(t_в) поменялся. Поскольку обе функции f(t) и g(t) всюду дифференцируемы, то этим свойством обладает и d(t), следовательно, согласно теореме Больцано-Коши, она принимает все промежуточные значения на интервале от t_у до t_в. В интервал промежуточных значений входит и 0, следовательно, есть такая точка, в которой d(t)=0, а, значит, и f(t)=g(t).

Интересно поразмышлять, какое из этих решений правильное с математической точки зрения. Многие говорили, будто первое решение «неточное», будто оно требует доказательства. Такой точке зрения мне хотелось бы возразить. И график, и функции высоты являются лишь моделями реально происходящего явления. Монах не точка, и, в силу некоторой асимметрии тела, не занимает тот же объем пространства, даже если и идет в обе стороны по узкой тропе между высокими камнями. Модель лишь модель. То, что происходило в реальности, прекрасно описывается первым решением. Требуется ли еще и математическая модель для этого случая? Мой ответ — нет, не требуется. Мы понимаем, что встреча непременно произойдет исходя из первого рассуждения.

Пока забудем о существовании второго и третьего решений и попытаемся «точно доказать» ответ с помощью математики. Пусть мы построили какую-то модель, из функций, графиков, тензоров или квартернионов — неважно. Пусть в нашей модели мы не смогли доказать, что точка встречи есть. О чем это говорит? Лишь о том, что мы построили неверную модель: мы же знаем уже, что монахи встретятся. Если же мы доказали, что точка встречи есть, то мы получили лишь тавтологическое подтверждение понятого нами факта. Можно сказать, что мы лишь не опровергли правильности модели.

Математика растет корнями из описания мира, она основана на весьма простых интуитивных понятиях числа, сложения и так далее. Более сложные системы — графики, функции, дифференциальное исчисление и прочие — все равно базируются на этом фундаменте и развиваются дополнением интуитивно схваченных понятий. Есть, конечно, области чистой математики, не основанные на описании реальных явлений, но они лежат далеко за пределами того набора математических знаний, который мы могли бы разумно, без искусственных усложнений использовать для решения этой задачи.

Таким образом, здесь очень легко угодить в логическую ловушку «математизирования модели». Любая модель, какую бы мы здесь ни построили, окажется лишь описанием той самой встречи монаха на спуске с его фантомом из времени его подъема — она ничего не добавит и не прибавит, а полученное из нее доказательство будет лишь доказательством ее собственной правильности.

Интересно, что я решил ее третьим способом, и лишь позже, к ужасу и потрясению своему, догадался о первом. Не буду здесь доводить дело до крайности и соглашаться с г. Фурсенко о том, что математика портит мышление, но замечу, что, возможно, я здесь оказался рабом дурной умственной привычки сначала безыскусно превращать все в функции, а потом уже начинать ими оперировать. Намного интереснее все-таки сначала охватить умом суть задачи, а заученные математические приемы привлекать только тогда уже, когда они очевидно «просятся» в решение. Берегите голову.

Comments

[brewbuilder.livejournal.com]

Интересно, что когда-то я её решал первым способом (знаю что не поверите),
а теперь не смог решить вообще.

[fregimus.livejournal.com]

Почему же не поверю? Забылось, а теперь, когда прочитали решение, вспомнили. Ничего странного в этом нет.

[staerum.livejournal.com]

Привычка недоверять здравому смыслу привела к тому, что минут где-то пять я даже сомневался, что они встретятся. Когда показал задачку жене - она тоже некоторое время сомневалась и не верила, пока графики ее не убедили окончательно.

Первое решение действительно наиболее красивое и испорченному привычкой к формализации сознанию сходу не далось. В общем все как в анекдоте - "выльем из чайника воду и сведем задачу к предыдущей", разуму проще идти протоптанными дорожками.

[necroman.livejournal.com]

Для существования нулевой точки по теореме Коши достаточно замечания о непрерывности. Наблюдение о дифференцируемости в данном случае - избыточное.

[dimmik.livejournal.com]

А мне вот больше всего понравилось как раз третье доказательство.
Хотя решал я первым способом.

Доказательства "исходя из здравого смысла" не всегда работают - здравый смысл может быть разным.
Например, если говорить о парадоксе Монти-Холла (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%81_%D0%9C%D0%BE%D0%BD%D1%82%D0%B8_%D0%A5%D0%BE%D0%BB%D0%BB%D0%B0), решается исходя из здравого смысла довольно просто: "представим что мы все время не меняем выбор - тогда вероятность выигрыша 1/3, значит если меняем - вероятность 2/3"; но требует при этом "правильной" точки зрения (рассмотрение всей системы в целом).
Альтернативная точка зрения дает нам другое (неправильное) решение исходя из здравого смысла - "у нас теперь есть две двери, за одной из них автомобль, значит вероятность 1/2"

Поэтому надо как минимум показать что наша точка зрения соответствует условиям задачи.
Для этого, насколько я понимаю, и строятся мат. модели.

Еще один типичный пример "решения исходя из здравого смысла" - нажатие на тормоз при заносе автомобиля. Вполне может быть неправильным решением.

[fregimus.livejournal.com]

Да, пожалуй. Спасибо.

[fregimus.livejournal.com]

Ну, я же не говорю о здравом смысле вообще. Вероятности не относятся к числу наблюдаемых ежедневно явлений, а бродячие буддийские монахи гораздо вещественнее.

Занос автомобиля — пример из совершенно другой области, там уже автоматические реакции срабатывают.

[fregimus.livejournal.com]

Да, интересное наблюдение, спасибо.

[dimmik.livejournal.com]

В такое случае (как обычно) возникает вопрос - как отделить ситуации когда "стоит применять здравый смысл" от ситуаций когда "стоит подумать"? :)

Собственно, у большинства моих знакомых, которые решали парадокс монти-холла "вторым путем" (вероятность 1/2) никаких сомнений не наблюдалось.
Все было абсолютно очевидно, так же как тот факт. что монахи встретятся.

"Господи, дай мне душевный покой в делах, которые я, изменить не могу, дай мне мужество изменять то, что я могу, и мудрость отделить одно от другого"

[dimmik.livejournal.com]

И, кстати, насчет автоматических реакций - решение "на основании здравого смысла" есть как раз ничто иное как автоматическая реакция.
Это не плохо, без этого мы вряд ли смогли бы нормально жить (на основании здравого смысла принимается большинство решений), но эти решения не всегда верны.

[l-i-d-y-a.livejournal.com]

Поразительно, как много тех, кто решал третьим способм.
То есть меня это удивило.

[mathreader.livejournal.com]

Признаться, с трудом вижу разницу между 1-м и 2-м решением. Третье эквивалентно второму тоже.

Блестяще сказано!

[darth-vasya.livejournal.com]

> Таким образом, здесь очень легко угодить в логическую ловушку «математизирования модели». Любая модель, какую бы мы здесь ни построили, окажется лишь описанием той самой встречи монаха на спуске с его фантомом из времени его подъема — она ничего не добавит и не прибавит, а полученное из нее доказательство будет лишь доказательством ее собственной правильности.

Уж не знаю, что там монах себе намедитировал, но если что-то подобное, то несколько дней прошли не впустую. ;)

[http://users.livejournal.com/_glav_/]

математическое решение позволяет выяснить условия при которых "бытовое" решение справедливо. Для этого, очевидно, необходимо и достаточно чтобы разница функций была непрерывна.
так, сразу видны такие "особые" случаи:
если монах будет "прыгать", а не идти (ф-я не непрерывна), то не факт, что такая точка существует.
но если он будет "прыгать" специальным образом, так что каждая из функций не непрерывна, а их разница - непрерывна, то точка "встречи" будет существовать.
"бытовое" решение эти случаи не описывает, даже в идеализированной модели "материальной точки".

[thorix.livejournal.com]

А я, честно говоря, не вижу разных решений. Все эти решения совершенно одинаковы, только записаны разным языком. Первое решение - интуитивное, второе - попытка нарисовать первое решение, ведь графики, которые пересекутся, и есть то самое наложение монахов во времени. Ну а третье - просто формализация.

Мне трудно себе представить математика (не вызубрившего формулы, а понимающего их), который решает в уме последним способом. Он просто привык формализировать решение, поэтому со стороны похоже, что он первым делом пишет формулы, хотя рассуждение, мысль была та же, что и у "умного нематематика", решившего "первым способом".

[(Anonymous)]

Более того, оно, строго говоря, может оказаться неверным. Кто их знает, этих монахов, как они ходят: вдруг они всё время дёргаются. А вот в том, что они не телепортируются, мы можем быть уверены.

[necroman.livejournal.com]

Ну, мы предполагаем их физическими существами. Даже если монах остановился перекурить, а потом рванулся вперёд с некоторой скоростью, кусочной дифференцируемости не будет, будет полная - ускорение монаха пусть и велико, но конечно, набор скорости будет плавным.

(Это мы, само собой, уже дурачимся. )

[necroman.livejournal.com]

Я до первого способа не додумался. Додумался до второго - представил две ниточки, соединяющие противоположные углы прямоугольника.

А к третьему прибег, чтобы обосновать второе, поскольку утверждение о том, что "графики где-то пересекутся", неплохо бы чем-то универсальным обосновать.

[fregimus.livejournal.com]

Конечно, сложно ответить, здесь только опыт может подсказать. Все-таки вероятности куда менее, повторюсь, очевидная вещь, чем два идущих навстречу друг другу человека.

Насчет автоматических реакций — Вы все-таки обобщаете чрезмерно, неконстуктивно уже. Можно сказать, что здравый смысл это как будто «заученная реакция» сознания, но что нам такая аналогия дает? Она слишком поверхностна, ведь механизмы задействованы — даже нейрологически — существенно различные.

[fregimus.livejournal.com]

А я-то как удивился, когда так сам сделал!

[fregimus.livejournal.com]

Первым способом задачу может решить человек, не знающий не только математики, но даже не знающий о ее существовании. В этом принципиальная разница.

[bitch-lizzie.livejournal.com]

черт )))))))) спасибо за первое решение, я как математик конечно не задумавшись решил 3им способом... ))))

[fregimus.livejournal.com]

Конечно. Но Вы сейчас сделали несколько модельных предположений, не оговорив их явно, например, «монахи встретились» = «точки совпали». Мы можем определить встречу и иначе, например, с точностью до какого-то расстояния, ну и так далее. Просто задача воспринимается как математическая, «из пункта А в пункт Б», но это весь тоже неявное предположение. Представьте, что о математике нам вообще ничего не известно: задача и в этом случае будет иметь и смысл, и решение. То есть, иными словами, бытовой задаче — бытовое решение, а в математический мир мы ее переносим от культурных особенностей.

[bitch-lizzie.livejournal.com]

а если он резко спотыкнется (например о камень) и остановится скажем?

[fregimus.livejournal.com]

Интересно, что в книге не было никакого решения, кроме первого. Там на примере ее решения разбирается сущность творчества.