Медитация над медитацией на горе

[fregimus]

Открываю комментарии с вашими ответами к задаче. Спасибо всем, кто откликнулся на мою просьбу: пришло почти 100 ответов! Задача совершенно несложна, но чрезвычайно интересна тем, что решают ее существенно разными путями. Мне известны три способа такого решения. Все три представлены в ответах, а четвертого, к сожалению, не появилось. Три этих пути таковы.

Первый, путь от обыденного мышления, основан на мысленном совмещении путей двух монахов в разные дни. Если монах идет себе навстречу, спускаясь с горы, то он встретит себя поднимающегося. Точка встречи и будет искомой. Это самое простое и красивое рассуждение из трех.

Второе решение графическое. Рисуются графики высоты монаха в зависимости от времени дня. Поскольку и подъем, и спуск происходили в течение светового дня, то один график будет спускаться от полной высоты горы до уровня подножия, а другой, наоборот, будет подниматься от последнего к первому в том же интервале времени на оси абсцисс. График следует без разрывов (монах не телепортируется), следовательно, графики непременно пересекутся.

Третий путь еще более абстрактный. Пусть f(t) высота монаха в день подъема, а g(t) высота в день спуска. Определим d(t)=f(t)−g(t) — это будет разница высот положения монаха во время дня t. Утром d(t_у)<0, так как поднимающийся монах был у подножия, а спускающийся на вершине. Вечером знак d(t_в) поменялся. Поскольку обе функции f(t) и g(t) всюду дифференцируемы, то этим свойством обладает и d(t), следовательно, согласно теореме Больцано-Коши, она принимает все промежуточные значения на интервале от t_у до t_в. В интервал промежуточных значений входит и 0, следовательно, есть такая точка, в которой d(t)=0, а, значит, и f(t)=g(t).

Интересно поразмышлять, какое из этих решений правильное с математической точки зрения. Многие говорили, будто первое решение «неточное», будто оно требует доказательства. Такой точке зрения мне хотелось бы возразить. И график, и функции высоты являются лишь моделями реально происходящего явления. Монах не точка, и, в силу некоторой асимметрии тела, не занимает тот же объем пространства, даже если и идет в обе стороны по узкой тропе между высокими камнями. Модель лишь модель. То, что происходило в реальности, прекрасно описывается первым решением. Требуется ли еще и математическая модель для этого случая? Мой ответ — нет, не требуется. Мы понимаем, что встреча непременно произойдет исходя из первого рассуждения.

Пока забудем о существовании второго и третьего решений и попытаемся «точно доказать» ответ с помощью математики. Пусть мы построили какую-то модель, из функций, графиков, тензоров или квартернионов — неважно. Пусть в нашей модели мы не смогли доказать, что точка встречи есть. О чем это говорит? Лишь о том, что мы построили неверную модель: мы же знаем уже, что монахи встретятся. Если же мы доказали, что точка встречи есть, то мы получили лишь тавтологическое подтверждение понятого нами факта. Можно сказать, что мы лишь не опровергли правильности модели.

Математика растет корнями из описания мира, она основана на весьма простых интуитивных понятиях числа, сложения и так далее. Более сложные системы — графики, функции, дифференциальное исчисление и прочие — все равно базируются на этом фундаменте и развиваются дополнением интуитивно схваченных понятий. Есть, конечно, области чистой математики, не основанные на описании реальных явлений, но они лежат далеко за пределами того набора математических знаний, который мы могли бы разумно, без искусственных усложнений использовать для решения этой задачи.

Таким образом, здесь очень легко угодить в логическую ловушку «математизирования модели». Любая модель, какую бы мы здесь ни построили, окажется лишь описанием той самой встречи монаха на спуске с его фантомом из времени его подъема — она ничего не добавит и не прибавит, а полученное из нее доказательство будет лишь доказательством ее собственной правильности.

Интересно, что я решил ее третьим способом, и лишь позже, к ужасу и потрясению своему, догадался о первом. Не буду здесь доводить дело до крайности и соглашаться с г. Фурсенко о том, что математика портит мышление, но замечу, что, возможно, я здесь оказался рабом дурной умственной привычки сначала безыскусно превращать все в функции, а потом уже начинать ими оперировать. Намного интереснее все-таки сначала охватить умом суть задачи, а заученные математические приемы привлекать только тогда уже, когда они очевидно «просятся» в решение. Берегите голову.

Comments

[brewbuilder.livejournal.com]

Интересно, что когда-то я её решал первым способом (знаю что не поверите),
а теперь не смог решить вообще.

[fregimus.livejournal.com]

Почему же не поверю? Забылось, а теперь, когда прочитали решение, вспомнили. Ничего странного в этом нет.

[staerum.livejournal.com]

Привычка недоверять здравому смыслу привела к тому, что минут где-то пять я даже сомневался, что они встретятся. Когда показал задачку жене - она тоже некоторое время сомневалась и не верила, пока графики ее не убедили окончательно.

Первое решение действительно наиболее красивое и испорченному привычкой к формализации сознанию сходу не далось. В общем все как в анекдоте - "выльем из чайника воду и сведем задачу к предыдущей", разуму проще идти протоптанными дорожками.

[fregimus.livejournal.com]

Да, интересное наблюдение, спасибо.

[necroman.livejournal.com]

Для существования нулевой точки по теореме Коши достаточно замечания о непрерывности. Наблюдение о дифференцируемости в данном случае - избыточное.

[fregimus.livejournal.com]

Да, пожалуй. Спасибо.

[(Anonymous)]

Более того, оно, строго говоря, может оказаться неверным. Кто их знает, этих монахов, как они ходят: вдруг они всё время дёргаются. А вот в том, что они не телепортируются, мы можем быть уверены.

[dimmik.livejournal.com]

А мне вот больше всего понравилось как раз третье доказательство.
Хотя решал я первым способом.

Доказательства "исходя из здравого смысла" не всегда работают - здравый смысл может быть разным.
Например, если говорить о парадоксе Монти-Холла (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%81_%D0%9C%D0%BE%D0%BD%D1%82%D0%B8_%D0%A5%D0%BE%D0%BB%D0%BB%D0%B0), решается исходя из здравого смысла довольно просто: "представим что мы все время не меняем выбор - тогда вероятность выигрыша 1/3, значит если меняем - вероятность 2/3"; но требует при этом "правильной" точки зрения (рассмотрение всей системы в целом).
Альтернативная точка зрения дает нам другое (неправильное) решение исходя из здравого смысла - "у нас теперь есть две двери, за одной из них автомобль, значит вероятность 1/2"

Поэтому надо как минимум показать что наша точка зрения соответствует условиям задачи.
Для этого, насколько я понимаю, и строятся мат. модели.

Еще один типичный пример "решения исходя из здравого смысла" - нажатие на тормоз при заносе автомобиля. Вполне может быть неправильным решением.

[fregimus.livejournal.com]

Ну, я же не говорю о здравом смысле вообще. Вероятности не относятся к числу наблюдаемых ежедневно явлений, а бродячие буддийские монахи гораздо вещественнее.

Занос автомобиля — пример из совершенно другой области, там уже автоматические реакции срабатывают.

[l-i-d-y-a.livejournal.com]

Поразительно, как много тех, кто решал третьим способм.
То есть меня это удивило.

[fregimus.livejournal.com]

А я-то как удивился, когда так сам сделал!

[mathreader.livejournal.com]

Признаться, с трудом вижу разницу между 1-м и 2-м решением. Третье эквивалентно второму тоже.

[fregimus.livejournal.com]

Первым способом задачу может решить человек, не знающий не только математики, но даже не знающий о ее существовании. В этом принципиальная разница.

Блестяще сказано!

[darth-vasya.livejournal.com]

> Таким образом, здесь очень легко угодить в логическую ловушку «математизирования модели». Любая модель, какую бы мы здесь ни построили, окажется лишь описанием той самой встречи монаха на спуске с его фантомом из времени его подъема — она ничего не добавит и не прибавит, а полученное из нее доказательство будет лишь доказательством ее собственной правильности.

Уж не знаю, что там монах себе намедитировал, но если что-то подобное, то несколько дней прошли не впустую. ;)

[http://users.livejournal.com/_glav_/]

математическое решение позволяет выяснить условия при которых "бытовое" решение справедливо. Для этого, очевидно, необходимо и достаточно чтобы разница функций была непрерывна.
так, сразу видны такие "особые" случаи:
если монах будет "прыгать", а не идти (ф-я не непрерывна), то не факт, что такая точка существует.
но если он будет "прыгать" специальным образом, так что каждая из функций не непрерывна, а их разница - непрерывна, то точка "встречи" будет существовать.
"бытовое" решение эти случаи не описывает, даже в идеализированной модели "материальной точки".

[fregimus.livejournal.com]

Конечно. Но Вы сейчас сделали несколько модельных предположений, не оговорив их явно, например, «монахи встретились» = «точки совпали». Мы можем определить встречу и иначе, например, с точностью до какого-то расстояния, ну и так далее. Просто задача воспринимается как математическая, «из пункта А в пункт Б», но это весь тоже неявное предположение. Представьте, что о математике нам вообще ничего не известно: задача и в этом случае будет иметь и смысл, и решение. То есть, иными словами, бытовой задаче — бытовое решение, а в математический мир мы ее переносим от культурных особенностей.

[thorix.livejournal.com]

А я, честно говоря, не вижу разных решений. Все эти решения совершенно одинаковы, только записаны разным языком. Первое решение - интуитивное, второе - попытка нарисовать первое решение, ведь графики, которые пересекутся, и есть то самое наложение монахов во времени. Ну а третье - просто формализация.

Мне трудно себе представить математика (не вызубрившего формулы, а понимающего их), который решает в уме последним способом. Он просто привык формализировать решение, поэтому со стороны похоже, что он первым делом пишет формулы, хотя рассуждение, мысль была та же, что и у "умного нематематика", решившего "первым способом".

[necroman.livejournal.com]

Я до первого способа не додумался. Додумался до второго - представил две ниточки, соединяющие противоположные углы прямоугольника.

А к третьему прибег, чтобы обосновать второе, поскольку утверждение о том, что "графики где-то пересекутся", неплохо бы чем-то универсальным обосновать.

[bitch-lizzie.livejournal.com]

черт )))))))) спасибо за первое решение, я как математик конечно не задумавшись решил 3им способом... ))))

[fregimus.livejournal.com]

Интересно, что в книге не было никакого решения, кроме первого. Там на примере ее решения разбирается сущность творчества.

[r00kie.livejournal.com]

мы эту задачу на каком-то бизнес-тренинге разбирали, в качестве "разогрева" мозгов. Насколько помню, 2 и 3 тогда нашел сам, а 1 тогда кто-то другой показал.
На мой взгляд, все три "доказательства" эквивалентны, если их формализовать, но 1 и 2 не являются строгими доказательствами. Согласен с dimmik, например, что "очевидности" из здравого смысла бывает иногда недостаточно.

[fregimus.livejournal.com]

Тут хорошо над таким вопросом задуматься: что именно требует доказательства — или, лучше сказать, обоснования? Вот идут два человека навстречу друг другу по узкой тропинке. Встретятся или не встретятся? Зачем же это доказывать — и так ясно, что встретятся. Фокус доказательства смещается. В первом случае если что и надо доказывать, так это позволительность рассуждения о том, что монаху можно запустить навстречу его копию. Во втором и третьем случае доказывается уже иной вопрос: что у двух траекторий имеется общая точка. Применяя математический аппарат, мы избегаем первого вопроса, но получаем взамен другой. Это вполне допустимо, но об эквивалентности рассуждений здесь говорить все-таки нельзя.

[(Anonymous)]

Кстати, вот очень похожая задача о двух возах.

Из А в Б ведут две дороги. Известно, что два велосипедиста, будучи связаны веревкой длиной 19 метров, сумели проехать из А в Б каждый по своей дороге. Теперь из А и Б одновременно навстречу друг другу выезжают два круглых воза радиусом 10 метров. Столкнутся ли они?

Я только вот сейчас додумался до интуитивного решения, подобного первому решению задачи о монахе.

[janatem.livejournal.com]

В третьем решении дифференцируемость не нужна, достаточно непрерывности. Второе решение, по-моему, является лишь графическим представлением (а потому наглядным для нематематиков) третьего. Что пока подтверждает мой тезис, высказанный ранее, о том, что вряд ли можно придумать два принципиально разных решения.

По поводу первого решение я не берусь категорично утверждать, что оно принципиально не отличается от второго-третьего, но всё же его можно запинать ногами в рамки "наглядного объяснения универсального третьего решения применительно к более узкому случаю".

Бесспорно, оно (первое решение) красиво и наглядно и вызывает восхищение. Но я всё же не соглашусь со Вашими словами в последнем абзаце "...безыскусно превращать все в функции". Такие житейские понятия, как движение, я не "превращаю" в функции; мое мышление устроено так, что я просто не отличаю "функции" от "движения", не могу помыслить, чтобы движение не было функцией.

[fregimus.livejournal.com]

Первым способом задачу может решить человек, не знающий математики и никогда о ней не слыхавший. В этом, думаю, принципиальная разница.

[deni-ok.livejournal.com]

Я бы первое решение не стал называть обыденным; я, как статфизик по образованию, сначала сказал себе: заменим эволюцию системы из одного монаха на ансамбль из двух одновременных монахов :)

[fregimus.livejournal.com]

Вы не шутите? Это, пожалуй, и будет четвертым решением.

[scau.livejournal.com]

"мысленное совмещение путей монахов" - это тоже построение модели, причем довольно произвольным образом

[(Anonymous)]

Когда мы говорим, что монах, спускаясь и поднимаясь, проходит какое-то место пути «в одно и то же время дня», мы, строго говоря, что имеем в виду? Непонятно. Часов буддийские монахи не носят, а солнце, как известно, включается и выключается, но висит в небе неподвижно.

Мы, по-видимому, мысленно совмещаем события сегодняшнего дня с событиями дня, например, послезавтрашнего, чтобы какие-то опорные моменты (скажем, включения солнца) происходили «одновременно». Предполагая при этом, что время сегодня и послезавтра «течет одинаково». Тогда послезавтрашнее событие, которое в этом придуманном совмещенном мире происходит, скажем, «сейчас», на самом деле, в реальном мире произойдет послезавтра в это же время.

Вот какую сложную модель нужно построить, чтобы передать смысл «два события происходят в разные дни в одно и то же время». Аж целое фактор-пространство. Без него даже сформулировать задачу не получается. Ну раз уж мы его построили, то в нем сегодняшний монах сталкивается с собой послезавтрашним естественным образом, без принуждения :)

:)))

под дубом

[falcao.livejournal.com]

Я тут ещё хотел коротко высказаться по поводу тех, кому не нравится первое рассуждение. Сразу хочу оговорить, что я не видел самого обсуждения (просто некогда было ознакомиться), но я так или иначе представляю себе, какого рода возражения могут быть. Типа, как это мы привлекаем "фантома" -- ведь его же не существует в действительности! :)

Это всё для меня звучит очень "трогательно", и особенно на фоне того, что люди постоянно применяют такого рода приёмы (типа рассмотрения копий "объектов", разного рода мысленных экспериментов), даже не отдавая себе в этом отчёта. Использование графиков, например, возражений уже не вызывает, потому что это "наука" и "так принято". Хотя это та же самая конструкция, только более сложная. Главное, что если мы рассматриваем графики не просто как математические объекты, а как-то их "прилагаем" к действительности, то в самом процессе "сопряжения" этих двух разных (и "разнородных") областей неизбежно возникают "фантомы". Но людям проще верить в "жёлуди", нежели в существование "дуба" :)

Re: под дубом

[cmike.livejournal.com]

Но ведь действительно привлекаем! На самом деле это хороший пример того, что мышление простого человека в действительности не так уж просто. (Скажем, в сравнении с аборигеном австралии.)

[kot-uchonyj.livejournal.com]

ОМГ! Первое решение! До чего же оно замечательное!
(в первый раз не туда тыкнул комментарий, извините)

[fregimus.livejournal.com]

Да. Удивительно, что так много людей (включая меня, любимого) мимо него проходят.

[kievljanka.livejournal.com]

Первое решение очень красивое. Не зря у нас говорили, что к окончанию мех-мата человек разучается решать задачи - мой способ был №2.

[fregimus.livejournal.com]

Говорил, говорил Фурсенко, а над ним только смеялись и рыдали…

[ex-rofer.livejournal.com]

Как у вас тут весело. Если обещаете не бросаться тапками, могу предложить 2.а решение.
С новым годом.

[fregimus.livejournal.com]

Обещаю, расскажите, пожалуйста. И Вас с Новым годом.

[kapahel.livejournal.com]

Я не чувствую границы между этими "решениями". Любые два из них могут проиллюстрировать третье. Может быть, дело в привычке.

[fregimus.livejournal.com]

Представьте, что не знаете математики, никогда о ней не слышали. Второе и третье решение предполагают заученые математические методы (графики и функции), а первое никаких мат. знаний не требует.

[alisey.myopenid.com (from livejournal.com)]

Есть ещё пятый способ решения, основанный на том, что человек, не знающий ответа, формулирует задачу не так, как знающий.
Нам сразу предлагают рассуждать про одну точку. Почему не две? Почему нас спрашивают "есть ли такая точка", а не "нет ли такой точки"? Человек, который сам задал себе вопрос, скорее выберет вторую формулировку.
Что будет с задачей, если точки на самом деле нет? Она потеряет занимательность. Людям интересно, чтобы в конце все поженились, или все умерли, им не интересно когда в конце ничего не произошло.

Задача уже решена. Точка есть, и она одна. Осталось понять почему. Я стараюсь представить, как монахи могли бы разминуться, или встретиться в неравное время с начала пути. Один монах мог бы оттягивать встречу, но не мог бы делать это бесконечно. В голове рисуются неровные линии, вот здесь они пересеклись, второй раз пересечься не могут (если монах не вовращался), зато могут тянуться вместе некоторое время, это монах прилег под деревом. Я привык строить графики, вот высота горы, вот тянется время, в голове эта картинка выглядит проще и подробнее, чем цепочка из действий. Привычный инструмент включается раньше, чем "здравый смысл", и я не думаю что это плохая привычка. Каждое умение дает особый взгляд на мир, однажды меня попросили объяснить, на что похожи эти мои замыкания (continuations) в программировании, я объяснил на примере взаимодействия команд людей, и эта аналогия помогла мне понять, как я сам могу лучше работать в команде. Очень даже хорошо применять свои мысленные модели в непривычных областях.