По геометрическим местам

[fregimus]

Расскажите мне, пожалуйста, представляете ли вы себе отрезок или окружность состоящими из точек? Можно ли окружность «разобрать» на составляющие ее точки? Если да, то как так можно из не имеющих размера точек составить имеющую размер линию? Как это укладывается в голове?

Аристотель полагал такую возможность абсурдной.

Интересно мнение и математиков, и естественников, и гуманитариев. Я знаю, что математики сейчас вспомнят Лебегову меру, и все сделается интуитивно просто и естественно. Но совсем недавно, до самого конца в XIX в., даже слов таких еще не было. Как бы без них, а обычной, не математической интуицией обойтись?

Прямую линию в геометрии не определяют, но окружность имеет определение.

Окружность есть множество точек, равноудаленных от данной.

Здесь используется операционное понятие множества. Хотелось бы без него. Попробуем так:

Окружность есть геометрическое место (locus, τόπος) точек, равноудаленных от данной.

Геометрическое место определяется предикативно, не через собирание всех входящих в него точек, а через описание свойства любой из них (не все точки, равноудаленные от данной, образуют собою окружность, но любая точка, принадлежащая окружности, равноудалена от данной). Но это определение, хотя и приводится в классических учебниках, но, на мой взгляд, хромает: две окружности одного радиуса не обязательно одинаковы, даже если их границы являются плотными множествами точек. Как бы еще это разрулить? Плотная, но не непрерывная линия — тоже не очень интуитивное понятие. Аристотель бы не одобрил.

Евклид: Κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον [ἣ καλεῖται περιφέρεια], πρὸς ἣν ἀφ᾽ ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι [πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν] ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν (1, 15). Σχῆμα ἐστι τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχόμενον (1, 14). Ὅρος ἐστίν, ὅ τινός ἐστι πέρας (1, 13).

То есть, круг есть плоская фигура, ограниченная одной линией, обладающая тем свойством, что одинакова длина всех/каждой (πᾶσαι) прямой, падающей на нее из одной точки внутри фигуры. Фигура (σχῆμα) — это то, что содержится внутри границы или границ, а граница (ὅρος) — край/предел (πέρας) чего угодно. Иными словами, у Евклида — геометрическое место, а не множество.

Не представляю себе, насколько современному человеку естественно понятие множества точек, составляющих линию. Для меня, испорченного математикой, оно естественно вполне. Для Аристотеля это было нелепостью. Евклид аккуратно обходит острые углы.

Comments

[degtyarchuk.livejournal.com]

можно попытаться определить через действие (способом получения или рисования), например, окружность, это фигура, которая образована полным поворотом отрезка с фиксированным неподвижным концом. радиусом такой окружности будет длина отрезка.

[anatoly borodin (from livejournal.com)]

Что такое «полный поворот»?

[fregimus.livejournal.com]

А с конца отрезка при этом точки сыплются. Много точек. Очень много точек. Так много, что получается сплошная линия. Мне кажется, так не проще и не сложнее — вопрос точно тот же остался, как это так много точек, что линия выходит. Вот как это так может быть?

*шёпотом, испуганно оглядываясь*

[antihydrogen.livejournal.com]

Главное, чтобы этот пост не увидел Виктор Катюшик!

[stoshagownozad.livejournal.com]

ну а чё... а чё... ну я не знаю. Я химик, мне легко представить, что из почти не имеющих размера (ну, в достаточном приближении) да к тому же ужасно пустых атомов понаделано все очень даже плотное и ощутимое... Ну и потом, принцип перехода количества в качество очень же наглядная штука. Вот это не куча, и это не куча, а вот это уже несомненно куча...

[p_govorun.livejournal.com]

Вот я как раз хотел написать: атомисты существовали с давних времён. Наверно, они были просто вынуждены считать прямую совокупностью точек.

[p_govorun.livejournal.com]

Умение вышивать крестиком способствует пониманию линии как множества точек :-)

Сейчас сильно распространилась пиксельная графика, так что "обычному человеку" вопринять прямую как множество точек нетрудно.

[kir16.livejournal.com]

Способствует, возможно. Если бы я еще видел, как это - вышивать крестиком. А попробуйте объяснить человеку, что между любыми двумя точками линии есть и другие ее точки.

[kir16.livejournal.com]

Я тоже испорчен математическим образованием, так что множество точек для меня естественно. А многих людей попытки объяснения понятия <>всюду плотное множество вводят в ступор.

[fregimus.livejournal.com]

А «всюду неплотное» разрывает мозг в клочья. Я видел.

Именно за счёт "обычной" интуиции и возникали...

[(Anonymous)]

... проблемы с понятием непрерывности и прочими сходными вещами. Как раз проблемы, которые тут выскакивают, были ещё древним грекам понятны - Зенон Элейский как раз на этом свою нынешнюю славу снискал, как-никак. И Ньютон с Лейбницем, например, работали почти полностью на своём "чутье", похоже, когда создавали дифференциальное исчисление...

Re: Именно за счёт "обычной" интуиции и возникали...

[fregimus.livejournal.com]

Бесконечно малые, мне кажется, более постижимы интуитивно. Просто очень-очень малые. А вот с точками все куда более запущено.

[(Anonymous)]

«не через собирание всех входящих в него точек»

Наивная попытка дать определение множеству, конечно, ничем хорошим кончиться не может. Поэтому возьмем лучше какую-нибудь нормальную теорию множеств вроде ZF. В ней о собирании всех элементов ничего не говорится, а вместо этого есть предикат принадлежности. В принципе точно такой же, как в определении геометрического места.

«две окружности одного радиуса не обязательно одинаковы»

Эта фраза непонятна. Имеются в виду окружности с разными центрами, но одного радиуса? Их равенство, вообще говоря, не следует прямо ни из того, ни из другого определения. Надо доказывать.

[fregimus.livejournal.com]

Обычный человек с простой человеческой интуицией не знает, что такое ZF, а геометрии в школе учен. Привлечение ZF — уход от интуитивного парадокса. А мне интересно, как справляются с парадоксом люди, не вооруженные ZF.

[antihydrogen.livejournal.com]

Недавно аналогичным вопросом озадачился бывший шеф: в квантовой теории свободного газа (фотонного или электронного, не важно) мы сначала берем ограниченный ящик, получаем собственные функции и собственные энергии, а потом устремляем размеры ящика к бесконечности и заменяем всюду суммирования на интегрирования. Но ведь у любого сколь угодно большого ящика множество уровней будет счетным, так откуда же там берется континуум?! Я, не будучи математиком, ответил просто: Это СПАРТААА бесконечность, весь континуум из-за нее.

[pphantom.livejournal.com]

Так ведь и интеграл Римана - это сумма счетного числа слагаемых. :)

[akalenuk.livejournal.com]

Я где-то читал, что у греков числа разных размерностей считались неаддитивными и несравнимыми. Из тех соображений, что, например, квадратное число с линейным складывать нельзя, как нельзя сложить площадь земельного участка и длину дороги до него. То есть эти правила работали как типы в языках со строгой типизацией - предотвращали глупые ошибки в вычислениях.

По индукции: 0-размерные числа нельзя сравнивать с 1-размерными. То есть для Аристотеля задача составить отрезок из точек была бы такой же абсурдной, как составить литр из метров.

[fregimus.livejournal.com]

Спасибо, поищу в этом направлении. Не помните ссылок, кто где это разбирал?

[mingqi.livejournal.com]

Как и любые первые основания, точки и их совокупности для меня непостижимы, кроме как интуитивно. Хуэй Ши говорил - вроде бы - о точке и прямой: "самое малое, не имеющее ничего внутри, назову малым единством; то, что не имеет толщины и не может накапливаться, простирается на тысячи вёрст".

[fregimus.livejournal.com]

Но окружность все же определяют как множество точек, оттого я ее и взял в качестве примера. Вот как тут в голове происходит переход от безразмерности точки к небезразмерной окружности?

“That which has no thickness cannot be piled up; yet it is a thousand li in dimension.” Интересно, какое точное значение слова было в источнике? Только вот неправда это, можно и накопить: кривые Пеано заполняют плоскость (см. тж. http://fregimus.livejournal.com/50493.html). Хуэю Ши понравилось бы.

[arno1251.livejournal.com]

+++ Окружность есть множество точек, равноудаленных от данной. +++
мне как-то не хватает тут "на плоскости"

[nenavistnik.livejournal.com]

Ну да. Иначе -- сфера будет.

[timur0.livejournal.com]

я отучал себя воспринимать окружность как множество точек. мало того, что мехмат, так и в школе учился по учебнику Колмогорова - там все через "множество точек" было.

[fregimus.livejournal.com]

И, если отучили, то как теперь воспринимаете окружность? И, если позволите лезть в душу, — зачем старались себя отучать?

[http://users.livejournal.com/_winnie/]

Если не принимать идею множеств, которые мощнее чем счетные - то действительно стрёмно представлять линию как состоящей из точек. Если множество-континуум это ok, то без проблем представить себе числовую прямую. Куда ни тки в ней - там какое-нибудь число (десятичная дробь, точна верхняя грань, набор сходящихся последовательностей...). Если взять все десятичные дроби - получится эта числовая прямая.
Ну и я тоже не очень верю в существование действительных чисел, для меня это просто набор предикатов, астракций и утверждений, помещающихся в мозг легче, чем реальное движение. А как начнем смотреть на реальный мир, так всё оказывается из атомов состоит, и что такое "траектория" неясно.

[fregimus.livejournal.com]

С числовой прямой хуже: куда ни ткни, там и рациональное число найдется (в ε-окрестности, во всяком случае). А этих-то гораздо меньше…

Я верю в существование иррациональных чисел. Но представить их себе тоже не могу.

Реалньый мир — карта и территория. Это понятно, да.

[rruben.livejournal.com]

Совсем не математик, но для меня это описание вполне естественно. Наверное потому, что для меня и линия естественным образом состоит из точек, а вопрос составлнения длины из не имеющих измерения отрезков это вопрос приближения

[fregimus.livejournal.com]

«это вопрос приближения» — то есть там дырочки на самом деле между точками, только все меньше и меньше по мере того, как мы точек насыпаем?

контрабандные понятия

[falcao.livejournal.com]

Я учился по "колмогоровской" программе, и теоретико-множественный подход усвоил в самом начале. Мне он и тогда казался самым естественным, и до сих пор таким представляется.

Понятие "геометрического места точек" я впервые встретил классе в седьмом в каком-то старом задачнике. В школе у нас так уже не говорили. Мне пояснили, что это прежняя терминология, и сейчас принято говорить "множество". Я, честно говоря, вообще никакой разницы не вижу -- разве что было такое "контрабандное" понятие, а потом от него благополучно избавились.

Я очень не люблю математическую "архаику", и до какого-то момента мне казалось, что её просто надо без сожалений отбросить. В принципе, я и сейчас придерживаюсь того же мнения, но с определённого момента меня стал интересовать вопрос, как мыслят "другие" люди. В частности, почему их не устраивает то, что вполне устраивает меня. И чего они хотят "сверх" этого.

В Вашем примере я не понял, какую разницу Вы видите. Ведь окружность в обоих случаях описывается совершенно одинаково. Есть свойство точек "находиться на расстоянии R от фиксированной точки O". Оно привлекается независимо от того, говорим ли мы о "множестве" или о "геометрическом месте". Акт "собирания вместе" всех точек с рассматриваемым свойством тоже присутствует там и там. Просто в одном случае он выглядит как совершенно "законный", и все множества чего бы то ни было задаются именно так. В другом случае это делается "нелегально", и в итоге возникает та же самая всем знакомая "фигура". Которую мы якобы "видим".

Соображение насчёт того, что точки "бесконечно малы" по размеру, а потому из них якобы ничего нельзя "собрать", мне кажется непонятным на фоне того, что при таком взгляде на вещи любая линия также имеет бесконечно малую "толщину" и в силу этого тоже "невидима". То есть тут я вижу некоторую непоследовательность, которая вообще свойственна тому типу мышления, от которого я бы предпочёл отказаться. Конечно, какие-то "притирки" тут нужны, чтобы свободно использовать "обыденный" опыт, но они довольно минимальны, и осуществляться всё это должно в самом начале обучения. А то получается так, что кто-то это упускает, а потом начинает на ровном месте чего-то "не понимать".

Re: контрабандные понятия

[fregimus.livejournal.com]

В общем-то, ZFC тоже определяет множество через предикат, а не перечисление, снимая различие между локусом и множеством. Я здесь скорее вызываю интуитивное, как мне кажется, для нематематика понятие множества — просто много предметов. Разница существенна для континуума, где все эти интуиции поломаются зверски (не только — и для неперичислимых рекурсивно множеств, но это нематематику чаще всего даже непонятно, что за предмет).

А я вот не могу себе представить иррациональных чисел на числовой оси. Раньше думал, что могу, а оказалось, что нет.

[dmitrygusev.livejournal.com]

Мне кажется понятие с геометрическим местом более естественным, чем определение с бесконечным множеством точек.
В этом есть простой геометрический смысл.
Сложно представить, что когда рисуешь воображаемую окружность пальцем в воздухе,
то за секунду успеваешь указать на бесконечное множество точек.

[fregimus.livejournal.com]

Спасибо, понимаю. Вы очень любопытно себе представляете математический мир, развивающийся во времени. Надо над этим подумать — мне такое в голову не приходило.

[poslednii-krot.livejournal.com]

Насколько я помню, в современной геометрической аксиоматике прямая и точка не связаны иерархически, как "прямая состоит из точек", а являются объектами совершенно разной природы. Единственное, что их связывает - это отношение принадлежности (которое тоже не обязательно понимать буквально, просто какое-то бинарное отношение). То есть, для любой точки и для любой прямой, мы можем сказать, "принадлежит" эта точка этой прямой или "не принадлежит". А что такое точка, что такое прямая, что такое "принадлежит" - эти вопросы остаются за рамками геометрии.
В принципе, тот же подход можно применить и к определению окружности (да и любой фигуры). Фигуры характеризуется тем, какие точки ей принадлежат, а какие - нет. Фактически, фигура - это закон, по которому мы определяем принадлежность точки этой фигуре. Для окружности этот закон выглядит так:

Если расстояние от точки до центра равно радиусу, то истина, иначе ложь.

Именно этот закон, а не сами точки, и есть окружность. Несложно показать, что две окружности с одним центром и равными радиусами равны, в том же смысле, в каком эквивалентны две функции или два алгоритма.
Я, вообще, думаю, что под "геометрическим местом" в учебнике подразумевается именно это. Просто учебники писались давно, когда понятие алгоритма еще не было таким распространенным. Сейчас я бы скорее написал, что окружность - это закон, или правило, выбора точек на плоскости.

[fregimus.livejournal.com]

То есть, если я правильно Вас понимаю, множество всех точек, удовлетворяющих этому закону, само окружностью не является; они просто все находятся на окружности, но не составляют ее — так? То есть, неправильно было бы даже говорить, что они ей принадлежат.

[dralkin.livejournal.com]

В моей голове окружность на точки не распадается.
Достачно взглянуть на полную луну, или разрезанное яблоко.
Или если посмотреть на годичные кольца ствола дерева, то можно видеть, что каждое кольцо - это такая недо_окружность. Идеальная окружность только представляется как предельная форма кольца. И можно, например, тогда определить окружность как некий предел к которому стремятся различные замкнутые кривые (такие недо_окружности). Можно сказать, что окружность - это такая замкнутая линия, которая равномерно искривлена (выпучена?) на любом своем участке.

А еще, если взять замкнутую кривую, разрезать ее на любое кол-во отрезков (равных по длине), затем подтащить все отрезки одним их концом к некой точке (параллельным переносом подтащить), а свободные концы отрезков соединить ребрами - то получится многоугольник. И если исходная кривая была окружностью, то многоугольник будет правильным.

[dralkin.livejournal.com]

Про центр окружности.
Вот у нас есть много недо_окружностей. И вот мы их разрезали на мелкие кусочки и для каждого кусочка ищем (как-нибудь ищем) кривизну. Тогда "центры" кривизны (не знаю точно, как они называются) множества кривых отрезков будут образовывать пятнышко, которое для идеальной окружности стянется к ее центру.

[taceto.livejournal.com]

А я испорчена математикой, поэтому не вижу никаких противоречий... Зато однажды, в graduate -курсе по прикладной математике тут, в Штатах, меня один студент убил вопросом - а зачем выводить формулы для создания ортогональной системы для более чем 3х векторов... (т.е. понятие n-мерное пространство у местных инженеров, порой, отсутствует...)

[ole-vin.livejournal.com]

А то, что, например, плоскость, складывается из именно таких бесконечно тонких окружностей, должно смущать меньше? Имеются в виду окружности всех радиусов с общим центром, не забыв для точности отдельно добавить саму точку этого общего центра. Что ж, интуиции девятнадцатого века, пожалуй, было недостаточно очень для многих вещей, это известно. А то, что многие продолжают мыслить понятиями куда более древних веков, тоже никуда не денется в ближайшем будущем. Тот факт, что человечество в двадцатом веке дозрело, скажем, до понимания логики или той же вероятности, ещё вовсе не означает, что до этого дозрели обыватели.

[nivanych.livejournal.com]

Можно сказать, что окружность не есть нечто, составленное из точек, но нечто, сшитое по определённому эскизу из (причём, в данном случае, конечного числа) кусков линий. А куски линий, это какие-то открытые подмножества (ну или элементы фрейма-локали) вещественных чисел. Многообразие, то есть. Которое можно задать как пучками, так и классически, когда для каждой точки есть окрестность, гомео- или диффео- морфная какому-то открытому куску простратства, из которого мы эти куски нарезаем. Например, вещественных чисел, и тогда, это получается 1-мерное многообразие.
В случае окружности, таких окрестностей может быть две — в одной половинке окружности одна, в другой другая, и эти окрестности даже и пересекаются.

Есть понятие бесточечной топологии, в основе которой не булева алгебра (отношение вложения на множестве подмножеств), а алгебра Хейтинга.
Основное её отличие в том, что у множества нет дополнения в привычном смысле, а только псевдодополнение, ну и дополнение дополнения (типа двойное отрицание) вовсе не равняется исходному множеству.
Такие штуки можно строить, не привлекая теорию множеств, а более того, создавая для неё новую основу (элементарный топос).
Вот придумали абстракцию фреймов и локалей, как аксиоматическую топологию — там нет точек, есть только решётка открытых подмножеств. И из них можно "склеить" какие-то другие хрени — строить многообразие, как пучок над соответствующим пространством.
Это всё рядом и около с интуиционистской логикой, которая очень часто и естественно возникает, когда связываешься с пучками и топосами.

Короче говоря, главная идея тут в том, чтобы строить всякие геометрические объекты не из точек, а из кусков.
Другое дело, что когда надо подчеркнуть какие-то хорошие свойства, например, гладкость, то элементарные конструкции, всё равно, будут поточечными, как например, параметрическое задание окружности функциями x(t), y(t). Но можно обойтись и без этого! ;-)

[fregimus.livejournal.com]

Спасибо. Я и не сомневался, что топология нас спасет, — мне интересно, как можно эти вещи себе представлять, у кого какие интуиции. Нет, топологическая интуиция не хуже любой другой. Я не могу такими абстракциями крутить, не умею — я вообще топологию не понимаю, на каком-то уровне погружения она перестает быть совместима с моей головой.