По геометрическим местам

[fregimus]

Расскажите мне, пожалуйста, представляете ли вы себе отрезок или окружность состоящими из точек? Можно ли окружность «разобрать» на составляющие ее точки? Если да, то как так можно из не имеющих размера точек составить имеющую размер линию? Как это укладывается в голове?

Аристотель полагал такую возможность абсурдной.

Интересно мнение и математиков, и естественников, и гуманитариев. Я знаю, что математики сейчас вспомнят Лебегову меру, и все сделается интуитивно просто и естественно. Но совсем недавно, до самого конца в XIX в., даже слов таких еще не было. Как бы без них, а обычной, не математической интуицией обойтись?

Прямую линию в геометрии не определяют, но окружность имеет определение.

Окружность есть множество точек, равноудаленных от данной.

Здесь используется операционное понятие множества. Хотелось бы без него. Попробуем так:

Окружность есть геометрическое место (locus, τόπος) точек, равноудаленных от данной.

Геометрическое место определяется предикативно, не через собирание всех входящих в него точек, а через описание свойства любой из них (не все точки, равноудаленные от данной, образуют собою окружность, но любая точка, принадлежащая окружности, равноудалена от данной). Но это определение, хотя и приводится в классических учебниках, но, на мой взгляд, хромает: две окружности одного радиуса не обязательно одинаковы, даже если их границы являются плотными множествами точек. Как бы еще это разрулить? Плотная, но не непрерывная линия — тоже не очень интуитивное понятие. Аристотель бы не одобрил.

Евклид: Κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον [ἣ καλεῖται περιφέρεια], πρὸς ἣν ἀφ᾽ ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι [πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν] ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν (1, 15). Σχῆμα ἐστι τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχόμενον (1, 14). Ὅρος ἐστίν, ὅ τινός ἐστι πέρας (1, 13).

То есть, круг есть плоская фигура, ограниченная одной линией, обладающая тем свойством, что одинакова длина всех/каждой (πᾶσαι) прямой, падающей на нее из одной точки внутри фигуры. Фигура (σχῆμα) — это то, что содержится внутри границы или границ, а граница (ὅρος) — край/предел (πέρας) чего угодно. Иными словами, у Евклида — геометрическое место, а не множество.

Не представляю себе, насколько современному человеку естественно понятие множества точек, составляющих линию. Для меня, испорченного математикой, оно естественно вполне. Для Аристотеля это было нелепостью. Евклид аккуратно обходит острые углы.

Comments

[fregimus.livejournal.com]

И, если отучили, то как теперь воспринимаете окружность? И, если позволите лезть в душу, — зачем старались себя отучать?

[timur0.livejournal.com]

начнем с того, что я не в состоянии представить несчетное множество, так что в принципе "окружность как множество точек" непредставима; можно только принять это как каноническую модель, преимущественное рассмотрение - вот с этим я и боролся. не хочу, чтобы окружность для меня была множеством точек или графиком уравнения x²+y²=1 - если как-то представлять ее, то как колечко, по крайней мере это наглядно и я могу в уме оперировать этим представлением. "множество точек" в этом смысле куда менее операбельно - я ведь даже не имею механизма получения этих точек! любой механизм будет вторичен по отношению к наглядному представлению. вот канторово множество - полная противоположность окружности - у меня нет его наглядной интуиции, есть только итеративный механизм построения. в этом смысле и оно тоже никак не множество точек, оно результат некого процесса. да, я знаю, что оно представимо в виде троичных дробей без использования знака "1", но это ничем не лучше - все равно что представить окружность как пучок лучей из центра и точки на этих лучах на одном расстоянии от центра. этой моделью можно оперировать, но она никак не является для меня первичной и наглядной.

в общем, целью избавиться от представления об окружности как множестве точек было желание расширить диапазон возможных моделей, чтобы одна выделенная не мешала представить тот же объект иначе.