![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
fregimusОткрываю комментарии с вашими ответами к задаче. Спасибо всем, кто откликнулся на мою просьбу: пришло почти 100 ответов! Задача совершенно несложна, но чрезвычайно интересна тем, что решают ее существенно разными путями. Мне известны три способа такого решения. Все три представлены в ответах, а четвертого, к сожалению, не появилось. Три этих пути таковы.
Первый, путь от обыденного мышления, основан на мысленном совмещении путей двух монахов в разные дни. Если монах идет себе навстречу, спускаясь с горы, то он встретит себя поднимающегося. Точка встречи и будет искомой. Это самое простое и красивое рассуждение из трех.
Второе решение графическое. Рисуются графики высоты монаха в зависимости от времени дня. Поскольку и подъем, и спуск происходили в течение светового дня, то один график будет спускаться от полной высоты горы до уровня подножия, а другой, наоборот, будет подниматься от последнего к первому в том же интервале времени на оси абсцисс. График следует без разрывов (монах не телепортируется), следовательно, графики непременно пересекутся.
Третий путь еще более абстрактный. Пусть f(t) высота монаха в день подъема, а g(t) высота в день спуска. Определим d(t)=f(t)−g(t) — это будет разница высот положения монаха во время дня t. Утром d(tу)<0, так как поднимающийся монах был у подножия, а спускающийся на вершине. Вечером знак d(tв) поменялся. Поскольку обе функции f(t) и g(t) всюду дифференцируемы, то этим свойством обладает и d(t), следовательно, согласно теореме Больцано-Коши, она принимает все промежуточные значения на интервале от tу до tв. В интервал промежуточных значений входит и 0, следовательно, есть такая точка, в которой d(t)=0, а, значит, и f(t)=g(t).
Интересно поразмышлять, какое из этих решений правильное с математической точки зрения. Многие говорили, будто первое решение «неточное», будто оно требует доказательства. Такой точке зрения мне хотелось бы возразить. И график, и функции высоты являются лишь моделями реально происходящего явления. Монах не точка, и, в силу некоторой асимметрии тела, не занимает тот же объем пространства, даже если и идет в обе стороны по узкой тропе между высокими камнями. Модель лишь модель. То, что происходило в реальности, прекрасно описывается первым решением. Требуется ли еще и математическая модель для этого случая? Мой ответ — нет, не требуется. Мы понимаем, что встреча непременно произойдет исходя из первого рассуждения.
Пока забудем о существовании второго и третьего решений и попытаемся «точно доказать» ответ с помощью математики. Пусть мы построили какую-то модель, из функций, графиков, тензоров или квартернионов — неважно. Пусть в нашей модели мы не смогли доказать, что точка встречи есть. О чем это говорит? Лишь о том, что мы построили неверную модель: мы же знаем уже, что монахи встретятся. Если же мы доказали, что точка встречи есть, то мы получили лишь тавтологическое подтверждение понятого нами факта. Можно сказать, что мы лишь не опровергли правильности модели.
Математика растет корнями из описания мира, она основана на весьма простых интуитивных понятиях числа, сложения и так далее. Более сложные системы — графики, функции, дифференциальное исчисление и прочие — все равно базируются на этом фундаменте и развиваются дополнением интуитивно схваченных понятий. Есть, конечно, области чистой математики, не основанные на описании реальных явлений, но они лежат далеко за пределами того набора математических знаний, который мы могли бы разумно, без искусственных усложнений использовать для решения этой задачи.
Таким образом, здесь очень легко угодить в логическую ловушку «математизирования модели». Любая модель, какую бы мы здесь ни построили, окажется лишь описанием той самой встречи монаха на спуске с его фантомом из времени его подъема — она ничего не добавит и не прибавит, а полученное из нее доказательство будет лишь доказательством ее собственной правильности.
Интересно, что я решил ее третьим способом, и лишь позже, к ужасу и потрясению своему, догадался о первом. Не буду здесь доводить дело до крайности и соглашаться с г. Фурсенко о том, что математика портит мышление, но замечу, что, возможно, я здесь оказался рабом дурной умственной привычки сначала безыскусно превращать все в функции, а потом уже начинать ими оперировать. Намного интереснее все-таки сначала охватить умом суть задачи, а заученные математические приемы привлекать только тогда уже, когда они очевидно «просятся» в решение. Берегите голову.
Первый, путь от обыденного мышления, основан на мысленном совмещении путей двух монахов в разные дни. Если монах идет себе навстречу, спускаясь с горы, то он встретит себя поднимающегося. Точка встречи и будет искомой. Это самое простое и красивое рассуждение из трех.
Второе решение графическое. Рисуются графики высоты монаха в зависимости от времени дня. Поскольку и подъем, и спуск происходили в течение светового дня, то один график будет спускаться от полной высоты горы до уровня подножия, а другой, наоборот, будет подниматься от последнего к первому в том же интервале времени на оси абсцисс. График следует без разрывов (монах не телепортируется), следовательно, графики непременно пересекутся.
Третий путь еще более абстрактный. Пусть f(t) высота монаха в день подъема, а g(t) высота в день спуска. Определим d(t)=f(t)−g(t) — это будет разница высот положения монаха во время дня t. Утром d(tу)<0, так как поднимающийся монах был у подножия, а спускающийся на вершине. Вечером знак d(tв) поменялся. Поскольку обе функции f(t) и g(t) всюду дифференцируемы, то этим свойством обладает и d(t), следовательно, согласно теореме Больцано-Коши, она принимает все промежуточные значения на интервале от tу до tв. В интервал промежуточных значений входит и 0, следовательно, есть такая точка, в которой d(t)=0, а, значит, и f(t)=g(t).
Интересно поразмышлять, какое из этих решений правильное с математической точки зрения. Многие говорили, будто первое решение «неточное», будто оно требует доказательства. Такой точке зрения мне хотелось бы возразить. И график, и функции высоты являются лишь моделями реально происходящего явления. Монах не точка, и, в силу некоторой асимметрии тела, не занимает тот же объем пространства, даже если и идет в обе стороны по узкой тропе между высокими камнями. Модель лишь модель. То, что происходило в реальности, прекрасно описывается первым решением. Требуется ли еще и математическая модель для этого случая? Мой ответ — нет, не требуется. Мы понимаем, что встреча непременно произойдет исходя из первого рассуждения.
Пока забудем о существовании второго и третьего решений и попытаемся «точно доказать» ответ с помощью математики. Пусть мы построили какую-то модель, из функций, графиков, тензоров или квартернионов — неважно. Пусть в нашей модели мы не смогли доказать, что точка встречи есть. О чем это говорит? Лишь о том, что мы построили неверную модель: мы же знаем уже, что монахи встретятся. Если же мы доказали, что точка встречи есть, то мы получили лишь тавтологическое подтверждение понятого нами факта. Можно сказать, что мы лишь не опровергли правильности модели.
Математика растет корнями из описания мира, она основана на весьма простых интуитивных понятиях числа, сложения и так далее. Более сложные системы — графики, функции, дифференциальное исчисление и прочие — все равно базируются на этом фундаменте и развиваются дополнением интуитивно схваченных понятий. Есть, конечно, области чистой математики, не основанные на описании реальных явлений, но они лежат далеко за пределами того набора математических знаний, который мы могли бы разумно, без искусственных усложнений использовать для решения этой задачи.
Таким образом, здесь очень легко угодить в логическую ловушку «математизирования модели». Любая модель, какую бы мы здесь ни построили, окажется лишь описанием той самой встречи монаха на спуске с его фантомом из времени его подъема — она ничего не добавит и не прибавит, а полученное из нее доказательство будет лишь доказательством ее собственной правильности.
Интересно, что я решил ее третьим способом, и лишь позже, к ужасу и потрясению своему, догадался о первом. Не буду здесь доводить дело до крайности и соглашаться с г. Фурсенко о том, что математика портит мышление, но замечу, что, возможно, я здесь оказался рабом дурной умственной привычки сначала безыскусно превращать все в функции, а потом уже начинать ими оперировать. Намного интереснее все-таки сначала охватить умом суть задачи, а заученные математические приемы привлекать только тогда уже, когда они очевидно «просятся» в решение. Берегите голову.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
(no subject)
2009-12-29 15:35 (UTC)